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#1 25-10-2019 13:58:47

Cesaratto
Invité

Nombre complexe

Bonjour,

J'ai un doute sur une question qui est la suivante :

Soit z € C*. En posant t=z+1/z, exprimer z^2+1/z^2 et z^3+1/z^3 en fonction de t.

D'abord j'ai fais t^2=(z+1/z)^2 qui me donne t^2=z^2+2+1/z^2 <==>t^2-2=z^2+1/z^2

Ensuite j'ai fais t^3=(z+1/z)^3 qui me donne t^3=z^3+3z+3/z+1/z^3  <==>t^3=z^3+3(z+1/z)+1/z^3 <==> t^3=z^3+3t+1/z^3 <==> t^3-3t=z^3+1/z^3

J'aimerais savoir si c'est sa le résultat.

Ensuite il y a une 2eme question qui me bloque qui est :

Déduire de la question précédente que 2cos(2pi/7), 2cos(4pi/7) et 2cos(8pi/7) sont les racines de l'équation t^3+t^2-2t-1=0.

J'ai commencé par remplacer t^3=z^3+3t+1/z^3, t^2=z^2+2+1/z^2  et t=z+1/z puis j'ai développé et sa me donne :

z^3+1/z^3 +z^2+1/z^2 + z+1/z +1=0

La je vois pas quoi faire...

Si c'est possible d'avoir votre aide :)

Cordialement

#2 25-10-2019 15:47:31

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 733

Re : Nombre complexe

Salut,

moi, ce sont tes équations que j'ai du mal à voir. Si tu pouvais faire un effort et coder en Latex, tout le monde y gagnera, toi compris.
Merci !

Dernière modification par freddy (25-10-2019 15:49:34)


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#3 25-10-2019 16:09:12

Cesaratto
Invité

Re : Nombre complexe

Bonjour,

J'ai un doute sur une question qui est la suivante :

Soit $z \in \mathbb C^*$. En posant $t=z+\frac{1}{z}$, exprimer $z^{2}+\frac{1}{z^2}$ et $z^3+\frac{1}{z^3}$ en fonction de t.
$t^2=z^2+2+\frac{1}{z^2} \iff t^2-2=z^2+\frac{1}{z^2}$

Ensuite j'ai fais $t^3=(z+\frac{1}{z})^3$ qui me donne $t^3=z^3+3z+\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3} \iff t^3=z^3+3(z+\frac{1}{z})+\frac{1}{z^3} \iff t^3=z^3+3t+\frac{1}{z^3} \iff t^3-3t=z^3+\frac{1}{z^3}$

J'aimerais savoir si c'est ça le résultat.

Ensuite il y a une 2eme question qui me bloque qui est :
$2\cos(\frac{2\pi}{7})$, $2\cos(\frac{4\pi}{7})$ et $2\cos(\frac{8pi}{7})$ sont les racines de l'équation $t^3+t^2-2t-1=0$.

J'ai commencé par remplacer $t^3=z^3+3t+\frac{1}{z^3}$, $t^2=z^2+2+\frac{1}{z^2}$  et $t=z+\frac{1}{z}$ puis j'ai développé et ça me donne :

$z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$

La je vois pas quoi faire...

Si c'est possible d'avoir votre aide :)

Cordialement

Dernière modification par yoshi (25-10-2019 16:36:05)

#4 25-10-2019 16:17:32

Cesaratto
Invité

Re : Nombre complexe

J'ai fais quelque chose qu'il fallait pas ? Pourtant je l'ai mit en latex mais sa ne marche pas :/

#5 25-10-2019 16:23:15

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Nombre complexe

Re,

Non, tu n'as pas fait quelque chose qu'il fallait : encadrer chaque formule par un $
Je vais le faire à ta place : comme invité, tu ne peux pas modifier un de tes posts...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#6 12-11-2019 11:28:58

ElGato
Membre
Inscription : 11-11-2019
Messages : 4

Re : Nombre complexe

Bonjour,

Cesaratto a écrit :

$z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$

multiplie par $z^3$ cette équation, tu devrais voir la 'suite' !
@+
edit : désolé, vu le doublon trop tard !

Dernière modification par ElGato (12-11-2019 11:32:58)

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#7 12-11-2019 18:45:52

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 506

Re : Nombre complexe

Bonsoir,
il me semble que ce sujet là est exactement le  même que celui d'une discussion : "racines de l'équation" de ce même forum... vu en long et en large!

Dernière modification par Zebulor (12-11-2019 18:46:47)

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