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#1 11-11-2019 11:01:14

hayKill
Membre
Inscription : 11-11-2019
Messages : 1

Dm sur la racine carre de 2

Bonjour
Je ne sais pas quoi dire. Notre prof nous lance des devoirs sans réfléchir. Il faut démontrer "des choses" car je ne comprends absoulement rien de se DM. quand notre classe a demande son aide, il nous a "expliqué" mais son explication a encore compliqué la vie.

j'ai deja fait le 1 de I et il me reste 2, 3 (a et b ) et II

Allons-y

I- On cosidère un nombre réel a strictement positif et distinct de √2

1- Démontrer que a et 2/a encadrent √2. pour ceci on traitera les questions a,b et c suivantes :
a- Si 0<a<√2, démontrer que a<√2<2/a
b-Si a>√2, démontrer que a>√2>2/a
c- En déduire le résultat demandé

2- Démontrer qu'alors leur moyenne arithmétique "1/2 (a + 2 / a ) est supérieure à √2. Pour ceci on étudiera la différence d=1/2(a+2/a)-√2.

3- Vérifier alors que :
a- Si 0<a<√2, alors a<2/a<1/2(a+2/a)<a
b- Si a>√2, alors 2/a<1/2(a+2/a)<a

II- Chaque valeur approchée de a permet ainsi d'obtenir une autre approchée encore meilleure.

En prenant pour a la valeur de 1, déterminer les cinq premiers encadrements de √2 par des rationnels ; dans chaque cas on donnera l'amplitude de l'encadrement.

Par exemple, au premier rang, on obtient :
a=1, 2/a=2, 1≤√2≤2, 1/2(a+2/a)=3/2, d=2-2/a=1.

On recommence alors avec a=3/2.

Fin



Merci d'avance.

Dernière modification par hayKill (11-11-2019 11:19:36)

Hors ligne

#2 11-11-2019 18:00:22

Matou
Invité

Re : Dm sur la racine carre de 2

Bonjour,

pour la partie 2.
Vu que l'expression de d est un peu complexe, je te propose d'étudier (a²+2)-√2.2.a
C'est une idée naturelle car on n'a plus de dénominateur. Comme on a la différence de deux racines de nombres positifs, on va regarder les carrés de ces nombres. Je te laisse écrire le carré de (a²+2). Quant au carré de √2.2.a, c'est 8.a²
Fais la différence des deux carrés, tu dois reconnaître un carré parfait. Par conséquent, d est toujours positif. Est-ce que tu vois pourquoi ?

La suite est assez facile.

Matou

#3 11-11-2019 21:31:33

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 733

Re : Dm sur la racine carre de 2

Salut,

pour info, c'est un procédé très ancien pour calculer $\sqrt{2}$, c'est bien de l'étudier. Et d'écouter un peu plus ton prof (qui semble réfléchir un peu !).


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#4 12-11-2019 08:35:38

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Dm sur la racine carre de 2

Bonjour,

freddy a écrit :

c'est un procédé très ancien pour calculer $\sqrt{2}$

1. C'est la méthode de Héron d'Alexandrie. On obtient très rapidement une très grande précision...
   Je l'ai implémentée en Python, et pour dépasser le seuil de 15-16 décimales de précision, j'ai utilisé le module decimal qui redéfinit un nombre Decimal via les fractions continues...
   Je peux fixer la précision souhaitée : 500, 1000, 10000, 20000...
   Pour 25000, seulement 16 itérations (!) seulement sont nécessaires et j'obtiens 25000 décimales en 0,4 s.
   Exemple avec 500 :

1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372

11 itérations
0,02 s


#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8 -*-

from time import time
from decimal import Decimal as D,getcontext
getcontext().prec=500

def rac(n):
    u=D(2)
    u0=D(1)
    i=0
    while not u0==u:
        u0=u
        u=(u**2+D(n))/(u*D(2))
        i+=1
    return D(u),i

debut=time()
radicande =2
u,i=rac(radicande)
print (u)
print("Nombre d'Itérations :", i)
print("effectuées en :",time()-debut,"s")
 

2. Calculer $\sqrt{2}$ a dit freddy... Pas que !
    Je remplace radicande =2 par radicande =3 :

1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330169088000370811461867572485756756261414154067030299699450949989524788116555120943736485280932319023055820679748201010846749232650153123432669033228866506722546689218379712270471316603678615880190499865373798593894676503475065760507566183481296061009476021871903250831458295239598329977898245082887144638329173472241639845878553976679580638183536661108431737808943783161020883055249016700235207111442886959909563657970871684980729
Nombre d'Itérations : 10
effectuées en : 0.04500269889831543 s

Explications.
On ne peut pas mélanger un entier et un Decimal : tout entier doit être préalablement converti en Decimal. D'où le D(2) et le D(n).
Le i est un compteur d'itérations.
Je sors de la boucle lorsque la racine approchée à prec (mot-clé) près ne change plus...
Sinon, c'est la formule de notre ami...

@+

[EDIT]
Merci à matou : rectifié... j'ai modifié le code original directement dans le post pour afficher les phrases puis copié/collé dans Python, constaté le message d'erreur et rectifié et j'ai oublié de revenir dans le post...

Dernière modification par yoshi (12-11-2019 09:55:28)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 12-11-2019 09:18:36

Matou
Invité

Re : Dm sur la racine carre de 2

Bonjour,

je voulais signaler que :
a- Si 0<a<√2, alors a<2/a<1/2(a+2/a)<a
comporte une erreur de copie.

Il faut donner un grand coup de chapeau à Freddy  et à Yoshi.

L'implémentation en Python est vraiment un joli travail.
Il faut noter toutefois que sur
print(effectuées en :",time()-debut,"s"), il manque un "double-quote".

Matou

#6 12-11-2019 10:06:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 861

Re : Dm sur la racine carre de 2

Re,

Donc, re-merci matou...
Concernant la vitesse, à remarquer :
10/11 itérations pour 500 décimales,
mais seulement 16 pour 25000 !!...

Concernant le code,  je l'ai adapté pour cosinuspax afin d'obtenir la racine carrée entière : la vitesse est tout aussi "hallucinante", Heron était un esprit brillant. Et cosinuspax dit que Wolfram ne peut pas extraire la racine carrée entière d'un nombre de plus d'un millier de chiffres : j'ai testé mon adaptation au delà de la dizaine de mille sans souci particulier, ni délai "sensible"...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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