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#1 05-06-2011 16:27:30

Picatshou
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equation différentielle

salut tout le monde,dans un exercice je dois montrer que pour x dans (IR*+) et pour f vérifiant :
     
      f'(x)=f(1/x)


montrer que f est deux fois dérivable et vérifie l'équation :y"+y/x²=0
et de résoudre l'équation en prenant x=e^t
alors j'ai dit ce qui suit on a f est dérivable don f'(1/x)=(-1/x²)f'(1/x)=(-1/x²)f(x)=f"(x) donc f est deux fois dérivable et vérifie l'équation différentielle

et pour la résolution j'ai trouvé l'équation caractéristique :r²+e^(-2t)=0
 

et j'ai trouvé les solutions:
r1=-ie^-t  et r2=ie^-t
et après je n'ai pas pu terminer ..?
dans quelle mesure ma réponse est juste ? merci d'avance  pour ce qui puisse m'aider à trouver la solution f(x)

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#2 05-06-2011 17:54:26

freddy
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Re : equation différentielle

Salut l'ami !

ta démonstration est fausse.

Plus simple est de dire : f' est dérivable comme composée (fo(1/Id) de deux fonctions dérivables sur le domaine de définition de f, donc f" existe.

on pose y=f(x) et  y'=f(1/x), on a : y"=-1/x².y soit ton équation différentielle dont les solutions sont inexactes.


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#3 05-06-2011 17:56:21

Picatshou
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Re : equation différentielle

et alors comment je peux les rendre justes ? :) c'est ça mon problème

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#4 06-06-2011 07:46:08

freddy
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Re : equation différentielle

Re,

le Seigneur disait : "cherche, et tu trouveras !..."

Voilà, tu sais tout, et éventuellement vas faire un saut dans la bibmath


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#5 06-06-2011 08:49:33

Picatshou
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Re : equation différentielle

freddy a écrit :

on pose y=f(x) et  y'=f(1/x), on a : y"=-1/x².y soit ton équation différentielle dont les solutions sont inexactes.

Bonjour , bon j'ai vérifié et j'ai trouvé que mes solutions sont exactes ! en effet la solution f(x) s'écrit: f(x)= A e^ at + B e^bt

avec a= t*i*e^(-t)
et b= -t*i*e^(-t)

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#6 06-06-2011 10:21:49

freddy
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Re : equation différentielle

Re,

c'est marrant ça : suffit qu'on te poussse à vérifier pour que tu le fasses ! ... Tu peux pas le faire avant de poster ?

Si tu n'existais pas, faudrait t'inventer, toi !


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#7 06-06-2011 11:41:07

Picatshou
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Re : equation différentielle

je suis vraiment désolé ,je suis existant , tant que je poste des messages ! non? mais c'est ce que j'ai pu trouver ?
je suis encore désolé si je vous ai dérangé

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#8 06-06-2011 21:22:47

freddy
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Re : equation différentielle

Re,

as tu songé à regarder la notion d'équation différentielle d'Euler ?

Manifestement, ça y ressemble bien beaucoup, car à l'origine, tu as affaire à une équation linéaire du second ordre à coefficients variables ...

Donc on a pour x > 0, [tex]x^2\times y"-y=0[/tex]

On pose [tex]x=e^t,\;g(t)=y(e^t),\;g'(t)=e^t\times y'(e^t),\;g"(t)=g'(t)+e^{2t}y"(e^t)[/tex]

Ton équation différentielle devient alors, avec t réel :

[tex]g"-g'-g=0[/tex]

A partir de là, on sait faire pour résoudre en g, et on trouve :

[tex]g(t)=c_1\times exp\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}t\right)+c_2\times exp\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}t\right)[/tex]

et on revient à la solution générale bien réelle en x par un easy backward :

[tex]y=f(x)=c_1\times x^{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}+c_2\times x^{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}[/tex]

T'en penses quoi, l'ami ?

Dernière modification par freddy (06-06-2011 21:27:34)


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#9 07-06-2011 10:50:02

Picatshou
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Re : equation différentielle

freddy a écrit :

Re,

as tu songé à regarder la notion d'équation différentielle d'Euler ?

Manifestement, ça y ressemble bien beaucoup, car à l'origine, tu as affaire à une équation linéaire du second ordre à coefficients variables ...

Donc on a pour x > 0, [tex]x^2\times y"-y=0[/tex]

On pose [tex]x=e^t,\;g(t)=y(e^t),\;g'(t)=e^t\times y'(e^t),\;g"(t)=g'(t)+e^{2t}y"(e^t)[/tex]

Ton équation différentielle devient alors, avec t réel :

[tex]g"-g'-g=0[/tex]

A partir de là, on sait faire pour résoudre en g, et on trouve :

[tex]g(t)=c_1\times exp\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}t\right)+c_2\times exp\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}t\right)[/tex]

et on revient à la solution générale bien réelle en x par un easy backward :

[tex]y=f(x)=c_1\times x^{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}+c_2\times x^{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}[/tex]

T'en penses quoi, l'ami ?

salut, c'est x² y" +y=0
Donc g"-g'+ g=0 ! et les solutions sont r=[tex]\frac{-1+-\sqrt{3}}{2}[/tex]

Dernière modification par Picatshou (07-06-2011 10:57:25)

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#10 07-06-2011 12:08:59

freddy
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Re : equation différentielle

Re,

oupsss, t'as raison, j'ai fourché ...

Toutefois, ta solution est fausse, car le delta de ton équation caractéristique en g est négatif ...


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#11 08-06-2011 11:04:40

freddy
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Re : equation différentielle

Ciao,

bon, c'est pas le tout, faut finir le boulot !

Donc on a pour x > 0, [tex]x^2\times y"+y=0[/tex]

On pose [tex]x=e^t,\;g(t)=y(e^t),\;g'(t)=e^t\times y'(e^t),\;g"(t)=g'(t)+e^{2t}y"(e^t)[/tex]

Ton équation différentielle devient alors, avec t réel :

[tex]g"-g'+g=0[/tex]

A partir de là, on sait faire pour résoudre en g, et on trouve :

[tex]g(t)=exp\left(\frac{t}{2}\right)\times \left(c_1\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)+c_2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right)[/tex]
et on revient à la solution générale bien réelle en x > 0:

[tex]y=f(x)=\sqrt{x}\left(c_1\sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ln(x)\right)+c_2\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}ln(x)\right)\right)[/tex]


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#12 11-11-2019 14:16:00

Hadrien
Invité

Re : equation différentielle

Picatshou a écrit :
freddy a écrit :

on pose y=f(x) et  y'=f(1/x), on a : y"=-1/x².y soit ton équation différentielle dont les solutions sont inexactes.

Bonjour , bon j'ai vérifié et j'ai trouvé que mes solutions sont exactes ! en effet la solution f(x) s'écrit: f(x)= A e^ at + B e^bt

avec a= t*i*e^(-t)
et b= -t*i*e^(-t)


Je ne comprend pas comment on aboutit à ce résultat et surtout pourquoi r1=-ie(-t) e2=-ie(-t) sont inexactes

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