Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 06-11-2019 10:44:17

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 101

quantificateurs logiques

Bonjour

Voici deux propositions:
1°)ⱻ x dans IR,  Ɐ y dans IR, x>y
2°)Ɐ x dans IR,  ⱻ y dans IR, x>y

1°) On se fixe x puis on cherche y qui satisfait x>y.
par exemple pour x=2, il y a des valeurs de y plus grandes ou plus petites que 2.
donc la proposition est fausse.
Ma réponse est-elle juste ?

2°) Ici comment fixer x ? Est ce possible ?

Merci d'avance.

Dernière modification par kadaide (06-11-2019 10:44:56)

Hors ligne

#2 06-11-2019 12:08:48

Abdillai
Membre
Inscription : 06-11-2019
Messages : 2

Re : quantificateurs logiques

kadaide a écrit :

Bonjour

Voici deux propositions:
1°)ⱻ x dans IR,  Ɐ y dans IR, x>y
2°)Ɐ x dans IR,  ⱻ y dans IR, x>y

1°) On se fixe x puis on cherche y qui satisfait x>y.
par exemple pour x=2, il y a des valeurs de y plus grandes ou plus petites que 2.
donc la proposition est fausse.
Ma réponse est-elle juste ?

2°) Ici comment fixer x ? Est ce possible ?

Merci d'avance.

bonjour,
En effet, ta réponse est juste parce que pour que ça soit vrai il faudrait que x ne soit  pas fixe c'est dire qu'on pourrais prendre n'importe quel valeur de x et c'est dans cet condition là que la prop 1 serais vraie, ce qui n'est pas le cas ici.

Mais par contre la prop 2 est vrai car si tu fixes une valeur de y, prenons par exemple y=2 et x=3 la proposition sera toujours vrai parce que tu a le droit de choisir n'importe quel valeur de x supérieur a celle de y la prop.

Dernière modification par yoshi (06-11-2019 12:24:30)

Hors ligne

#3 06-11-2019 15:56:45

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 101

Re : quantificateurs logiques

Merci pour ta réponse.

Pour le 2°) je croyais qu'il faut d'abord fixer la variable du premier quantificateur ?
Je croyais que c'était un cas général de prendre les variables dans l'ordre de leur quantificateur ?
C'est pour ça que je n'ai pas pu répondre.

Hors ligne

#4 06-11-2019 17:42:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 303

Re : quantificateurs logiques

Bonjour,

  La proposition 1 est fausse, mais ta méthode pour le démontrer est erronée.

Dire que la proposition 1 est vraie revient à savoir s'il existe x dans $\mathbb R$ tel que, pour tout $y$ dans $\mathbb R$, on a $x>y$.
Toi, tu dis : pour $x=2$, c'est faux, on n'a pas pour tout $y$ dans $\mathbb r$ $2>y$. Mais il faut pouvoir le prouver pour n'importe quel $x$.
Il suffit de dire : soit $x$ dans $\mathbb R$, alors je choisis $y=x+1$, et on n'a pas $x>y$.

La proposition 2 est vraie. Prends n'importe quel $x$ dans $\mathbb R$. On choisit $y=x-1$. Alors $x>y$.

F.

Hors ligne

#5 06-11-2019 18:20:11

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 101

Re : quantificateurs logiques

Toi, tu dis : pour x=2, c'est faux, on n'a pas pour tout y dans r 2>y. Mais il faut pouvoir le prouver pour n'importe quel x.

Je débute dans cette logique, maintenant je sais qu'il faut prouver dan un cas général.

Hors ligne

#6 06-11-2019 22:21:33

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 719

Re : quantificateurs logiques

Je reprends ton énoncé, sur certains postes informatiques, on n'arrive pas à lire tes quantificateurs ...

kadaide a écrit :

Bonjour

Voici deux propositions:
1°) $\exists x \in R$,  $\forall y \in R$, $x \gt y$

2°)$\forall x \in R$, $\exists y \in R$, $x \gt y$

Du coup, on voit bien pourquoi la 1 est fausse et la 2 est vraie.


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#7 07-11-2019 10:07:13

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 101

Re : quantificateurs logiques

Bonjour
Je voudrais revenir sur la première proposition:1°) ∃x∈R,  ∀y∈R, x>y
Est ce qu'on peut donner un contre exemple pour démontrer qu'elle est fausse ?

Je fixe x=2
Je prends y=3

C'est bien un contre exemple ?

Si c'est non alors je m'y perds dans cette logique.

Hors ligne

#8 08-11-2019 11:11:13

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 157

Re : quantificateurs logiques

Bonjour,

On peut trouver un contre exemple ("abstrait") mais ce que tu as fait ne marche pas, mais je vais essayer de te faire comprendre pourquoi. Je pense que la confusion vient du fait que tu ne connais pas ceci :
Soit $P$ une proposition (comme par exemple une de celles que tu as énoncé). Alors tu as :
$P$ est vrai si et seulement si la négation de $P$ est fausse.
Ou ce qui revient exactement au même :
$P$ est faux si et seulement si la négation de $P$ est vrai.

Je reviens à ce que tu as écrit :

Tu peux trouver trouver un contre exemple, mais tu ne peux pas choisir la valeur de x ou tout du moins pas comme tu l'as fait, je m'explique :
Ce que tu as fais c'est montrer que pour x=3, la proposition suivante est fausse : $\forall y \in \mathbb{R} x > y$.
C'est faux parce que tu trouvé un y qui vérifie $y \geq x$, or la négation de cette propriété est $\exists y \in \mathbb{R} x \leq y$, donc la négation de $\forall y \in \mathbb{R} x > y$ est vraie et d'après ce que je t'ai expliqué au début de mon post ça montre que $\forall y \in \mathbb{R} x > y$ est faux.
Mais ça ne montre pas que $\exists x \in \mathbb{R} \forall y \in \mathbb{R} x > y$ est faux, car tu as juste montré que $x=3$ ne peut être le x vérifiant la propriété que je viens juste d'écrire. Pour montrer que cette propriété est fausse, il faut que tu regardes sa négation qui est :
$\forall x \in \mathbb{R} \exists y \in \mathbb{R}, x \leq y$.
Donc une démonstration que cette propriété est vraie est :

Soit $x \in \mathbb{R}$.
Posons $y = x + 1$. Alors on a immédiatement que $y \geq x$.
Ce qui montre que $\forall x \in \mathbb{R} \exists y \in \mathbb{R}, x \leq y$ est vraie (propriété qui traduit en français est : pour tout réel x, il existe un réel y tel que $x \leq y$).

Comprends tu un peu mieux ?

Dernière modification par Maenwe (08-11-2019 11:12:12)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante quatre plus quatre-vingt huit
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums