Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Cédrix

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théorèmes de stabilité

Bonjour,
je trouve tantôt le théorème 1, tantôt le théorème 2. Sont-ils équivalents ?
(je ne pense pas .... je pense que le théorème 2 implique le théorème 1 mais qu'on a pas forcément la réciproque).
Qu'en pensez-vous ?
Théorème 1 : pour tout graphe probabiliste "fortement" connexe à 2 ou 3 sommets, de matrice de transition M, il existe un unique état stable P=(x y) ou (x y z) solution de l'équation matricielle P*M=P.
Cet état stable est indépendant de l'état initial. Et si n tend vers l'infini, alors l'état probabiliste Pn tend vers l'état stable P.
Théorème 2 : pour tout graphe probabiliste d'ordre 2 ou 3 dont la matrice de transition ne comporte pas de 0, l'état Pn tend vers un état P indépendant de l'état initial P0.
P vérifie P=P*M et est appelé état stable.
merci !
C.

Fred

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Re : théorèmes de stabilité

Bonjour,

  Si ton graphe est d'ordre 2, les deux théorèmes sont équivalents (un chemin d'un sommet à un autre = une arête d'un sommet à un autre).
Si ton graphe est d'ordre 3, tu as des graphes fortement connexes dont la matrice de transition comporte des zéros. C'est donc plutôt le théorème 1 qui entraîne le théorème 2, non?

F.

Cédrix

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Re : théorèmes de stabilité

Bonjour,
je ne comprends pas, excusez-moi mon erreur de raisonnement.
je dirais plutôt que le thm 2 implique le thm 1 puisque SI une matrice est strictement positive ALORS elle est "fortement" connexe (et pas la réciproque).
Par contre, si un graphe avait la matrice de transition M (avec 2 zéros sur la diagonale et des 1 ailleurs), il serait bien fortement connexe.
Et le thm 1 vérifiant les bonnes hypothèses d'application admettrait comme état stable P=(0,5 0,5) ce qui est contradictoire avec la limite de Pn qui n'existerait pas si l'état initial était différent de (0,5 0,5).
Bref, le thm1 n'est pas valable dans ce cas. N'est-ce pas ?
Merci d'avance de toutes vos précisions à venir,
C.