Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 02-11-2019 07:46:37

Etudiantdelunivers
Membre
Inscription : 01-11-2019
Messages : 5

A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Bonjour
______________________________________________________________________________________________________________
Proposition:Toute intersection fermés est fermée.
----------------------------------------------------------------------------------------
Preuve:
Soit $\left\{F_{i}, i \in I\right\}$ une famille de fermés, $\mathrm{I}$ un ensemble d'indices (exemple : $I=\mathbb{N}$ ou $I=\mathbb{R}$. Montrons que $F=\bigcap_{i \in I} F_{i}$ est un fermé.
En général $F \subset \bar{F}$ , il reste à montrer que $\bar{F} \subset F$ .
En effet soit $a \in \bar{F} \Longrightarrow \forall \varepsilon>0] a-\varepsilon, a+\varepsilon[\cap F \neq \emptyset$ . comme $F \subset F_{i} \forall i \in I$ , alors ]$a-\varepsilon, a+\varepsilon\left[\cap F_{i} \neq \emptyset \forall i \in I\right.$ . Puisque les $F_{i}$ sont fermés, on en déduit que $a \in F_{i} \forall i \in I$.
Ceci veut dire que $a \in F$ .

______________________________________________________________________________________________________________

Je n'ai pas compris comment il a conclu que, $a \in F_{i} \forall i \in I$ , dans cette partie =>(Puisque les $F_{i}$ sont fermés, on en déduit que $a \in F_{i} \forall i \in I$.)
Je ne comprends pas non plus comment il conclut cette partie=>(Ceci veut dire que $a \in F$ ).

-----------------
Merci d'avance
-----------------

Dernière modification par Etudiantdelunivers (02-11-2019 15:08:11)

Hors ligne

#2 02-11-2019 08:00:53

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 159

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Bonjour,

Sa conclusion vient de ceci :

Etudiantdelunivers a écrit :

]$a-\varepsilon, a+\varepsilon\left[\cap F_{i} \neq \emptyset \forall i \in I\right.$

Pour comprendre sa conclusion il faut traduire ce que ça veut dire. D'après l'inégalité précédente tu as que $a$ est dans l'adhérence de chacun de $F_{i}$, or chacun des $F_{i}$ est fermé et donc égal à son adhérence, et donc $a \in F_{i}$.
Pour ta dernière question je te laisse faire, que veut dire que : $\forall i \in I, a \in F_{i}$, et pour t'aider à répondre demande toi par quoi est constitué une intersection d'ensemble.

Par contre, je pense que ton prof a fait exprès de choisir cette preuve pour vous faire manipuler la notion d'adhérence mais il y a beaucoup plus simple : prend le complémentaire de cette intersection ça donne une union de complémentaire de fermée autrement dit une union d'ouverts, or par les axiomes des ouverts on a que cette union est encore un ouvert, donc par définition d'un fermé, l'intersection des fermés est fermé.

Dernière modification par Maenwe (02-11-2019 08:03:09)

Hors ligne

#3 02-11-2019 15:04:14

Etudiantdelunivers
Membre
Inscription : 01-11-2019
Messages : 5

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Merci beaucoup, j'apprécie vraiment votre aide

Et à propos de votre deuxième méthode: pourquoi pensez-vous que cette phrase=>(Toute réunion d'ouverts est ouverte) est un axiome, je pense qu’elle a besoin de preuves
Et aussi mon professeur a utilisé  (la définition d'ouvert) et (A est ouvert si et seulement si son complaimentaire est fermé) et (Toute intersection fermé est fermée) pour prouver =>(Toute réunion d'ouverts est ouverte)




Merci encore pour votre aide

Hors ligne

#4 02-11-2019 16:26:12

Sophie3209
Invité

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Petite nuance:
1) Pour les ouverts
Toute réunion QUELCONQUE d'ouvert est un un ouvert
Toute intersection finie de fermés et est un fermé

2) Pour les fermés
Toute réunion finie de fermés est un fermé
Toute intersection quelconque d'ouvert est un ouvert

#5 02-11-2019 16:29:38

Sophie3210
Invité

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Oups , c'est plutôt:

1) Pour les ouverts
Toute réunion QUELCONQUE d'ouvert est un un ouvert
Toute intersection finie d'ouvert et est un ouvert

2) Pour les fermés
Toute réunion finie de fermés est un fermé
Toute intersection quelconque fermé est un fermé

#6 02-11-2019 18:29:54

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 159

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Bonsoir,

Oui la nuance est importante, en effet.
@Etudiantdelunivers, qu'elle est la définition des ouverts qui t'a été donné, ou plus généralement, comment t'a t'ont défini une topologie ?
Parce que, il est possible de définir une topologie de plusieurs manières, mais qui sont toutes équivalentes et de ce que je vois on ne t'a pas défini les topologies à partir des ouverts ou des fermés.

Hors ligne

#7 02-11-2019 22:11:40

Etudiantdelunivers
Membre
Inscription : 01-11-2019
Messages : 5

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Bonsoir

Oui,tu as raison

la définition d'ouvert qui m'a été donné est:On dit que $E$ est ouvert de $\mathbb{R}$ si $\operatorname{Int}(E)=E$,On note $\operatorname{Int}(E)$ l'ensemble des points intérieurs dans $E$.

Et la definition du topologie dans le cours est:
Soit $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$ où $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ est l'ensemble des parties de $\mathbb{R}$.On dit que $\mathcal{T}$ est une topologie sur $\mathbb{R}$ si:
1=> $\emptyset$ et $\mathbb{R} \in \mathcal{T}$
2=>Toute réunion d'éléments de $\mathcal{T}$ est un élément de $\mathcal{T}$.
3=>Toute intersection finie d'éléments de de $\mathcal{T}$ est un élément de $\mathcal{T}$.

Hors ligne

#8 02-11-2019 22:15:32

Etudiantdelunivers
Membre
Inscription : 01-11-2019
Messages : 5

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

@Sophie3210 ,Merci

Hors ligne

#9 03-11-2019 06:37:31

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 159

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Bonjour,

D'accord, donc on t'a défini les ouverts seulement pour $\mathbb{R}$.
Je comprends mieux maintenant ta phrase : "je pense qu'elle a besoin de preuve", oui tu as raison selon les définitions des ouverts de $\mathbb{R}$ qui t'a été donné il faut une preuve que les ouverts sont bel et bien des ouverts. Parce qu'en fait ce qu'on appelle ouvert (si l'on part de ta définition d'une topologie) c'est les éléments de $\mathcal{T}$, et pour vérifier qu'un ensemble est un ouvert il faut qu'il vérifie ces 3 axiomes d'une topologie, ou, inversement pour vérifier qu'un ensemble d'ensembles forme une topologie (donc un ensemble d'ouvert) il faut vérifier ces 3 axiomes.
Je ne sais pas si c'était très claire, mais du coup mon autre méthode n'est pas approprié pour démontrer ce que tu voulais, ça aurait marché si on avait défini les ensembles appelés ouverts comme les éléments de $\mathcal{T}$.

Dernière modification par Maenwe (03-11-2019 06:38:35)

Hors ligne

#10 05-11-2019 11:53:38

Etudiantdelunivers
Membre
Inscription : 01-11-2019
Messages : 5

Re : A propos d'un PREUVE d'une PROPOSITION(TOPOLOGY,ANALYSE REAL)

Merci

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
trente huit moins trente et un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums