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#26 26-09-2019 14:49:52

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Re,

Vous avez raison. C'est une erreur de ma part.
Merci à vous deux.

#27 26-09-2019 17:42:44

eldaty
Membre
Inscription : 26-09-2019
Messages : 2

Re : suites et séries numériques

LCTD a écrit :

Bonjour,

J'ai peut-être une idée pour  uc browser la dernière question de  l'exercice 2 :
[tex] v_n = u_n \times \sqrt{n+1} =   [ filezilla \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+1} (1+\sqrt{p})} [/tex]

[tex]S_{v_n}= \sum_{n=0}^\infty v_n = v_0 + \sum_{n=1}^\infty  \frac{\sqrt{(n+1)!}}{\prod_{p=1}^{n+2} (1+\sqrt{p})} \times (1+\sqrt{p}) [/tex]

je croix que dans le deuxième terme  rufusil a y la somme de [tex]u_n [/tex] qui est convergente.

  L'exercice 1 est un joli exercice. Pour démontrer que suite

Dernière modification par eldaty (27-09-2019 00:50:10)

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#28 26-09-2019 17:59:36

hppc07
Membre
Inscription : 19-09-2019
Messages : 15

Re : suites et séries numériques

Fred a écrit :

Bonjour,

  L'exercice 1 est un joli exercice. Pour démontrer que suite $(v_n)$ est convergente en utilisant une série, ma première idée est d'utiliser la série télescopique définie ici par son terme général $w_n=v_{n+1}-v_n$. Si la série de terme général $(w_n)$ converge, alors la suite $(v_n)$ converge.
Ici, si je regarde $w_{n+1}=(v_{n+2}+v_{n+1})w_n$, je vois que $|w_n+1|\leq C |w_n|$ pour un certain $C$ dans l'intervalle $]0,1[$, et donc la série de terme général $w_n$ converge absolument (majoration par une série géométrique convergente).

F.

Re-bonjour à tous, en réalité je viens de me rendre compte qu'à chaque fois que j'utilisais le critère de d'Alembert, que ce soit pour l'exercice 1 ou 2, mon quotient $|w_n+1|/|w_n|$ tendait vers 1 et non vers [tex] l \leq 1 [/tex]... Du coup je n'arrive pas à majorer par une série géométrique de raison q<1, Fred pouvez-vous me dire comment vous avez trouvez le réel C ? J'ai l'impression que ce n'est pas possible... Merci !

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#29 30-09-2019 17:45:40

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : suites et séries numériques

Bonsoir,

Comment as tu montré que la limite de $|\frac{w_{n+1}}{w_{n}}|$ converge vers 1 ? Tu dois étudier pour cela la limite de $|v_{n+2}+v_{n+1}|$ ce qui ne me semble pas des plus simples sans passer par l'étude de la limite de $(v_{n})$ et on tourne en rond...
Par contre tu peux utiliser l'inégalité que tu as normalement montré dans la question un peu avant de cette manière :
$|w_{n+1}|\leq (|v_{n+2}|+|v_{n+1}|)|w_{n}| \leq (u_{n+2}+u_{n+1})|w_{n}|$.

Dernière modification par Maenwe (30-09-2019 17:45:53)

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#30 07-10-2019 13:36:38

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Maenwe a écrit :

Re,

Pour ta 1ère question :
L'inégalité s'applique pour tout $x \geq \frac{1}{4}$ (si je ne me trompe pas), et donc elle est vraie sur tous les entiers naturels, tu as donc :
$\sqrt{n+2}\leq 1+\sqrt{n}$ et donc : $\frac{1}{\sqrt{n+2}} \geq \frac{1}{1+\sqrt{n}}$.
Ainsi on a :
$\frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} (1+\sqrt{k})} \leq \frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} \sqrt{k+2}}$
Et par changement d'indice tu as (et en utilisant le fait que $\sqrt{1}=1$) :
$\frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+1} \sqrt{k+2}} = \frac{\sqrt{n!}}{\prod\limits_{k=3}^{n+3} \sqrt{k}}\\
=\frac{\sqrt{2.n!}}{\prod\limits_{k=1}^{n+3} \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{2}}{\prod\limits_{k=n+1}^{n+3} \sqrt{k}}\\
=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(n+1).(n+2).(n+3)}}$
(Au passage le 2 apparait à cause du fait que je rajoute un $\sqrt{2}$ au dénominateur)
C'est plus claire ou reste t'il des points obscurs ?

Pour ta deuxième question :
C'est une question ? Je comprends peut-être mal ce que tu as écris mais j'ai l'impression que tu me dis qu'il n'y avait qu'un seul point obscure alors qu'avant tu me dis qu'il y en a plusieurs ^^

Bonjour,

En fait, je m'aperçois que dans l'inégalité, le terme de gauche correspond à (Un) et non à (Vn). donc ce que l'on vient de démontrer, ce n'est pas que (Vn) converge vers 0 mais que (Un) converge vers 0 ?

Je fais erreur?

Merci

#31 07-10-2019 14:04:35

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : suites et séries numériques

Bonjour,

Tu as raison, mais ça se corrige très facilement en multipliant par $\sqrt{n+1}$.

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#32 07-10-2019 14:37:31

Basile
Invité

Re : suites et séries numériques

Quel idiot je fais !!!
On simplifie ensuite par racine de n+1 et on a que vn converge vers 0 quand n tend vers + l'infini.
désolé pour cette question pas très brillante et encore merci

#33 07-10-2019 14:45:55

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : suites et séries numériques

Ne t'excuse pas de poser des questions, tant que tu y as un réfléchi avant il n'y a pas de problème.

Hors ligne

#34 Hier 18:06:16

NIYALI
Membre
Inscription : Hier
Messages : 1

Re : suites et séries numériques

Fred a écrit :

Bonjour,

  L'exercice 1 est un joli exercice. Pour démontrer que suite $(v_n)$ est convergente en utilisant une série, ma première idée est d'utiliser la série télescopique définie ici par son terme général $w_n=v_{n+1}-v_n$. Si la série de terme général $(w_n)$ converge, alors la suite $(v_n)$ converge.
Ici, si je regarde $w_{n+1}=(v_{n+2}+v_{n+1})w_n$, je vois que $|w_n+1|\leq C |w_n|$ pour un certain $C$ dans l'intervalle $]0,1[$, et donc la série de terme général $w_n$ converge absolument (majoration par une série géométrique convergente).

F.

à la dernière question quant il s'agit de calculer la somme des Un, les autres questions je n'ai pas eu de mal.

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