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#1 11-10-2019 13:12:39

Basile
Invité

rang d'une forme quadratique

Bonjour,

Voilà mon problème:

Soit la forme quadratique q(x1,x2,x3,x4) = x12 +4x22+x32 + x42 - 4x1x2 +2x1x3 - 2x1x4.

J'ai écrit la matrice 4x4 de cette forme quadratique que j'ai échelonnée. Comme il y a un pivot sur chaque ligne, j'ai trouvé que le rang de q est de 4 et que la dimension de son noyau est donc r= 0 (théorème du rang).

J'ai ensuite décomposé q en somme de carrés de formes linéairement indépendantes et j'ai obtenu:

q = (x1 - 2x2 + x3 - x4)2 + (x2 + x3 - 1/2x4)2 - (x2 - x3  + 3/2x4)2;

La signature de q est donc (p=2,q=1)

Mon problème est le suivant:
Avec cette décomposition, q est de rang 3 alors qu' avec la matrice, j'ai trouvé un rang égal à 4.
Par ailleurs, je devrais avoir p+q+r = n (donc 4) alors qu'avec ma décomposition, j'obtiens p+q+r=3;

Est ce ma décomposition qui est fausse?

Merci d'avance pour vos réponses

#2 11-10-2019 16:20:48

LCTD
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Bonjour,

En faisant le calcul je trouve ( j'espère ne pas me tromper) :

q=(x1-x4)2+(x1+x3)2+(2x2-x1)2-2x12

#3 11-10-2019 20:13:27

Basile
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Re,

Merci LCTD.

1) En faisant à nouveau le calcul, j'obtiens une autre décomposition:
q = (x1 - 2x2 + x3 - x4)2 + (x2 + x3 - 1/2x4)2 - (x2 - x3  + 3/2x4)2 +2x4.

Le développement des deux résultats ramènent bien à la forme quadratique de départ, il me semble.
J'ai appliqué l'algorithme de Gauss.
Comment avez vous fait s'il vous plait? Est il possible d'avoir plusieurs décompositions possibles?

2) J'ai une question supplémentaire: Est il possible d'avoir un vecteur v n'appartenant pas au noyau de q tel que q(v) =0 ?

A nouveau merci.

#4 11-10-2019 21:50:03

LCTD
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Bonjour,

Je suppose que tu veux dire v non nul, dans ce cas je crois que c'est possible, si q est une forme quadratique dégénérée, dans ce cas le déterminant de la matrice associée est nulle.

Une forme quadratique est non dégénérée si son noyau est réduit à l'élément 0 (ou s'il n'y a pas de vecteurs orthogonaux à tous les autres, ou si son rang est la dimension n de l'espace)

Je m'interroge sur ta décomposition, car tu divises par x4. Comment fais-tu pour démontrer que les formes linéaires que tu as trouvées sont indépendantes?
Je croix que la décomposition se fait à l'aide de formes linéaires indépendantes ( à vérifier).

Voilà j'espère t'avoir apporter des éléments de réponses à ta questions.

#5 11-10-2019 22:01:14

LCTD
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Bonjour,

J'ai sans doute mal interprété ce que tu as écrit. tu voulais écrire $\frac{1}{2}$x4et $\frac{3}{2}$x4,  avec latex l'interprétation n'est pas possible. Donc j'annule ma question car tu ne divises pas par 4

#6 11-10-2019 22:09:32

Basile
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Re,

En fait, c'est x42 à la fin de ma décomposition. C'est une erreur.
Qu'entends tu par "tu divise par x4"?

Oui, je voulais dire v non nul.
Ici, dans notre cas, le noyau est réduit à l'élément 0 (nous sommes dans une forme non dégénérée) donc je pense qu'il ne peut pas y avoir d'autre vecteur v que le vecteur nul tel que q(v) =0. Qu'en penses tu?

Merci

#7 11-10-2019 22:13:41

Basile
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Je veux dire x4 2; Je vais y arriver!!!

#8 11-10-2019 22:18:46

LCTD
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Bonjour,

Oui, c'est ce que je pense.

#9 11-10-2019 22:25:10

Basile
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Merci.

#10 11-10-2019 22:41:36

LCTD
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Bonjour,

à ta question : Est il possible d'avoir plusieurs décompositions possibles? Voilà je sais :
La  réduction  d'une  forme  quadratique  a  pour  résultat  une  écriture  sous  la  forme  d’une  combinaison  (non
unique) d’au plus n carrés de formes linéaires indépendantes


à ta question : Comment avez vous fait s'il vous plait? J'ai juste remarquer qu'il avait des carrés type (a+b)2,je les ai écrits et j'ai soustrait ce que j'ajoutais quand j'écrivais les carrés. Je pense que l'algorithme de Gauss permet d'avoir une méthode qui marche toujours quand rien n'est visible.

#11 11-10-2019 22:50:08

Basile
Invité

Re : rang d'une forme quadratique

Super. Merci pour toutes ces informations.

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