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bernard26

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Ballon de foot

Bonjour
Je dois créer un ballon de foot, mais il me faut l'angle qui'il y a entre les surfaces planes des (20) hexagones et (12) pentagones
Pour ma réalisation, le cercle tangent sur les côtée de l'hexagone et de 145 mm .
Merci

Wiwaxia

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Re : Ballon de foot

Bonjour,

Le ballon de foot est un icosaèdre tronqué, dont chaque sommet est partagé entre un pentagone régulier (d'angle α₀ = π - π/5 = 4π/5 = 144°) et deux hexagones réguliers (d'angle β₀ = 2π/3 = 120°).
https://www.mathcurve.com/polyedres/arc … dien.shtml
https://www.mathcurve.com/polyedres/ico … nque.shtml

On peut imaginer 3 arêtes du polyèdre concourant à l'origine d'un repère orthonormé direct (Oxyz), et orientées par les vecteurs unitaires (u₁, u₂, u₃) placés de telle sorte que:
a) u₁ et u₂ correspondent à deux arêtes successives du pentagone, et soient disposés dans le plan (xOy), symétriquement par rapport au demi-axe (Ox');
b) u₃ oriente l'arête commune aux deux hexagones, et se situe dans le plan (xOz), au-dessus de (Ox).

Ils présentent dans ces conditions les composantes suivantes:

u₁ = (-Cos(α), Sin(α), 0) ;
u₂ = (-Cos(α), -Sin(α), 0) ;
u₃ = (Cos(t), 0, Sin(t) ,

si l'on convient de poser α = α₀/2 = 2π/5 = 72° .
Par ailleurs (t) désigne l'inclinaison du vecteur (u₃) sur l'axe (x'x), choisie de telle sorte que

(u₃, u₁) = (u₃, u₂) = 2π/3 ,

ce qui entraîne pour les produits scalaires:

(u₃│u₁) = (u₃│u₂) = Cos(2π/3) = -1/2 .

Les normales unitaires aux trois faces s'expriment alors par les produits vectoriels:

n₂ = (1/N₂)*(u₃×u₁) (face hexagonale);
n₁ = (1/N₁)*(u₂×u₃) (face hexagonale);
n₃ = (1/N₃)*(u₁×u₂) (face pentagonale);

(orientées sauf erreur vers le haut), sachant que l'on a de plus:

N₂ = ║u₃×u₁║ = N₁ = ║u₂×u₃║ ;
N₃ = ║u₁×u₂║ .

Les angles dièdres déterminés par les faces adjacentes sont supplémentaires des angles séparant les directions des normales:
a) pour deux hexagones:

A₁₂ = π - (n₁, n₂) ;

b) pour un pentagone et un hexagone:

A₁₃ = π - (n₁, n₃) = A₂₃ = π - (n₂, n₃) ,

avec (n_i, n_j) = Arccos(n_i │ n_j) .

Il reste le choix du calcul à entreprendre: soit entièrement numérique, soit algébrique à l'aide de radicaux (ce qui est tentant, mais peut se révéler un peu lourd).

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/T … PisurN.htm

Dernière modification par Wiwaxia (11-10-2019 11:01:15)