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#1 19-09-2019 16:27:15

Londmo
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Formule de Taylor

Bonjour,

J'aurais une petite question, je reprends les maths cette année après avoir arrêté mes études. J'ai choisi une L2 directement et je crois que c'était un peu ambitieux, mes restes de prépa sont loin...

Enfin bref, voici l'énoncé, je bloque sur la question 2), je n'arrive pas à visualiser ce que peut être c(n).

Exercice 3 :

1) Justifier que la fonction f : x -> Intégrale de 0 à 1 de (exp(xt)/(racine de 1 + t^4) dt est définie sur R pour un t donné.

Pour cette question j'ai eu l'impression que c'était assez immédiat donc pas de soucis

2) . Prouver à l'aide d'une formule de Taylor qu'il existe cn appartenant à R^n tel que pour tout (N,t) appartenant à NxR+, Valeur absolue de (1/(racine (1+t)) - Somme de n=0 à N de (cn*tn) inférieur ou égal à Valeur absolue de cN+1*tN+1

Merci d'avance pour votre aide.

Bonne journée :)

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#2 19-09-2019 17:53:57

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonsoir,

Même si la 1ère question est ok, il y a quand même un problème dans l'énoncé, t est la variable d'intégration donc dire "pour un t donné" n'a pas vraiment de sens.

Je me permets de réécrire en latex pour que ce soit plus claire :
f est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \displaystyle \int_{0}^{1} e^{x.t}.\sqrt{1+t^{4}} \, \mathrm{d}t$
Et on cherche $(N,t) \in \mathbb{N} \times \mathbb{R}_{+}$ tel que :
$|\frac{1}{\sqrt{1+t}} - \sum_{n=0}^{N} c_{n}.t_{n}| \leq |c_{N}+1.t_{N} + 1|$
Qu'est donc $(t_{n})$ ? Ne voulais tu pas écrire $t^{n}$ ? Et je m'interroge sur l'utilité du facteur 1 devant $t_{N}$.

Outre ces petites erreurs, en attendant la correction, j'ai l'impression que cette inégalité ressemble un peu à une application de l'inégalité de Taylor Lagrange, mais pas tant que ça à cause du terme $|c_{N}+1.t_{N} + 1|$ et à cause de la question précédente aussi.

Cordialement

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#3 19-09-2019 18:10:47

yoshi
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Re : Formule de Taylor

Re,

@Maenwe
Tu as traduit par :
$f(x) = \displaystyle \int_{0}^{1} e^{x.t}.\sqrt{1+t^{4}} \, \mathrm{d}t$
Hmmmm...
Moi, je lis plutôt :
$f(x) = \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \text{d}t$, non ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#4 19-09-2019 20:06:01

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Re,

@Yoshi, oui tu as raison ! Je n'avais pas vu le slash entre l'exponentiel et la racine carré.

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#5 23-09-2019 16:22:48

hppc07
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Re : Formule de Taylor

Bonjour,

Le début de l'énoncé est effectivement le suivant :
1) Prouver que la fonction  $f(x) = \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t$  est définie sur $\mathbb{R}$

2) Prouver à l'aide d'une formule de Taylor qu'il existe [tex] (c_{n}) [/tex] tel que pour tout [tex] (N,\tau) [/tex] $\in \mathbb{N} \times \mathbb{R}_{+}$

$|\frac{1}{\sqrt{1+\tau}} - \sum_{n=0}^{N} c_{n}.\tau^{n}| \leq |c_{N+1}.\tau^{N+1}|$

Dernière modification par hppc07 (23-09-2019 16:23:17)

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#6 23-09-2019 17:40:13

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonsoir !

Alors je ne vois toujours pas le lien avec la 1ère question mais j'ai tout de même réussi à résoudre la deuxième :

Par récurrence on peut montrer ceci (comment que j'ai pensé à ça ? Eh bien, je me suis dit ça ressemble beaucoup à une inégalité de Taylor-Lagrange je vais donc cherché à l'appliquer mais il faut connaître la dérivée n-ième de f, je dois donc la calculer... et je vais essayer de raisonner par récurrence si c'est trop moche comme expression !) :

$f^{(n)}(t)= \frac{k_{n}}{\sqrt{1+t}.(1+t)^{n}}$, j'ai aussi réussi à identifier la valeur de $k_{n}$ mais il n'y a pas besoin de l'identifier pour l'exercice, c'est donc juste un petit bonus ! Et aussi par récurrence on montre :
$k_{n} = (-1)^{n} \prod\limits_{i=0}^{n-1} (\frac{1}{2}+i)$
Et donc on peut borner la dérivé n-ième sur $\mathbb{R}_{+}$ par : $|f^{(n)}(t)| \leq |k_{n}|$
On a donc toutes les hypothèses pour appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange :
Et je te laisse faire pour la suite, bon courage !

Dernière modification par Maenwe (23-09-2019 17:42:36)

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#7 24-09-2019 10:55:25

hppc07
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Re : Formule de Taylor

Bonjour Maenwe, décidément vous êtes indispensable pour apporter de l'aide merci ! C'est clair comme de l'eau de roche, en plus vous explicitez la suite, il suffit de diviser par les factoriels pour retrouver le (Cn) de l'énoncé.

Alors je me permet de mettre a suite de l'exercice, pour Londmo qui avait créé ce post :

3) En déduire que pour tout [tex] N [/tex] $\in \mathbb{N}$, il existe une fonction [tex] \epsilon_N [/tex] définie sur $\in \mathbb{R^+}$ et tendant vers 0 en [tex] +\infty [/tex] telle que pour tout [tex] x [/tex] $\in \mathbb{R}$,

$|\dfrac{x}{e^x} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t - \sum_{n=0}^{4N} c_{n}| \leq |c_{N+1}|+\epsilon_N(x)$ .

4) Vérifier que [tex] (\Sigma c_n) [/tex] converge.
5) Calculer S, la somme [tex] (\Sigma c_n) [/tex].
6) Etablir que $\int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t \sim_{\infty} S\dfrac{e^x}{x}$

Dernière modification par hppc07 (26-09-2019 11:16:05)

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#8 24-09-2019 17:36:46

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonsoir,

Hum, tu bloques à toutes les questions ? (c'est possible hein, mais c'est juste pour savoir où est-ce que ça bloque exactement)

NB : C'est quoi S ?

Dernière modification par Maenwe (24-09-2019 17:37:38)

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#9 25-09-2019 10:33:12

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi la dérivé n-ieme que tu donnes Maenwe dans le post #6 n'est pas exprimée en fonction de x alors que la fonction f est une fonction de x. Je n'ai peut être pas compris mais la variable t est  simplement la variable d'intégration ou s'agit il d'une intégrale dépendant d'un paramètre (t en l'occurrence)? En fait la présence à la fois de x et de t dans l'intégrande me gêne. Bref, je suis noyé.

Merci pour vos éclaircissements et bonne journée.

#10 25-09-2019 14:55:52

hppc07
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Re : Formule de Taylor

Maenwe a écrit :

Bonsoir,

Hum, tu bloques à toutes les questions ? (c'est possible hein, mais c'est juste pour savoir où est-ce que ça bloque exactement)

NB : C'est quoi S ?

S est la somme des (Cn), j'ai oublié de préciser mais c'était bien dans le sujet d'origine !

J'avoue que si vous avez une petite indication supplémentaire pour la question 3)... je ne vois pas de déduction logique à partir de la question 2) pour arriver au résultat de la question 3) pour l'instant...
Merci !

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#11 25-09-2019 18:01:10

Maenwe
Membre
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Re : Formule de Taylor

Bonsoir,

Basile a écrit :

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi la dérivé n-ieme que tu donnes Maenwe dans le post #6 n'est pas exprimée en fonction de x alors que la fonction f est une fonction de x. Je n'ai peut être pas compris mais la variable t est  simplement la variable d'intégration ou s'agit il d'une intégrale dépendant d'un paramètre (t en l'occurrence)? En fait la présence à la fois de x et de t dans l'intégrande me gêne. Bref, je suis noyé.

Merci pour vos éclaircissements et bonne journée.

Alors en fait la réponse est "toute simple", la réponse est que l'on peut choisir n'importe quel symbole pour représenter une variable du moment que cela ne rentre pas en conflit avec une autre notation, en l’occurrence ce n'est pas le cas ici car, même si j'avais utilisé l'intégrale dans ma résolution, la variable t dans l'intégrale est une variable "caché" dans le sens où tant que tu n'utilises pas la même variable dans les bornes de l'intégrale, il n'y a aucun problème (enfin en général on essaye d'éviter d'écrire ce genre de choses : $t.\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t$, pour éviter des erreurs dans les éventuels calculs qui suivront). La variable d'intégration indique simplement quel variable est "mis en marche" dans une fonction pour intégrer ladite fonction, car comme tu l'as dis des fonctions peuvent être à plusieurs variables, et dans le cas où la fonction n'a qu'une seule variable, appelons la $f$ tu peux écrire l'intégrale sans le $dt$ de cette manière :
$\displaystyle \int_{a}^{b} f = \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t$.
C'est un peu plus claire comme ça ? Si non, dis moi exactement où tu bloques dans ce que j'ai raconté.


Et pour ton deuxième soucis, tu vas voir c'est relativement simple à comprendre, d'abord tu peux remarquer avec la présence du $dt$ dans l'intégrale défini dans les postes ci-dessus, ce qui indique que l'on va uniquement faire bouger la variable $t$ de la fonction, $x$ ici est totalement indépendant de $t$. Donc pour que tu vois qu'il n'y a aucune ambiguïté posons $x \in \mathbb{R}$, et une certaine fonction $g_{x}$ (pour éviter tout ambiguïté je précise bien que le x est ici en indice de g) défini comme suit : $g_{x}(t)=\frac{e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}}$, tu peux voir $x$ ici simplement comme une constante que l'on fixe au départ, et non comme une variable (d'ailleurs quand on étudie ce genre de fonctions définie une intégrale à paramètre on raisonne à un moment ou à un autre  en considérant $x$ comme une "constante") et donc l'intégrale $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t$ est aussi égale à :
$\displaystyle \int_{a}^{b} g_{x}(t) \, \mathrm{d}t$.
Ça va un peu mieux comme ça ?
Mais à mon avis si tu as du mal à saisir les subtilités de ce genre d'objet mathématiques, tu dois y passer un certain temps dessus, lire et relire ce que tu sais dessus, chercher toutes les interprétations possibles de cet objet mathématiques (ça marche pareil pour toute nouvelle notion en mathématiques, quand c'est nouveau et relativement éloigné de ce qu'on maîtrise, on est obligé d'y passer du temps pour comprendre, même les meilleurs chercheurs), et puis une fois que tu en as marre tu vas te coucher et le lendemain tu recommences, et il y a un moment où tu te dis : "oh bah mince, je suis trop bête, c'est évident". Et c'est bon tu as compris, jusqu'à ce que tu te poses de nouvelles questions encore plus profonde.

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#12 25-09-2019 18:09:44

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonsoir,

hppc07 a écrit :
Maenwe a écrit :

Bonsoir,

Hum, tu bloques à toutes les questions ? (c'est possible hein, mais c'est juste pour savoir où est-ce que ça bloque exactement)

NB : C'est quoi S ?

S est la somme des (Cn), j'ai oublié de préciser mais c'était bien dans le sujet d'origine !

J'avoue que si vous avez une petite indication supplémentaire pour la question 3)... je ne vois pas de déduction logique à partir de la question 2) pour arriver au résultat de la question 3) pour l'instant...
Merci !

Je n'ai pas effectué les calculs mais si tu remplaces $\tau$ par $t^{4}$ dans l'inégalité obtenue en 1) tu as quelque chose de plus ressemblant et après en intégrant (il faudra jouer probablement un peu avec les inégalités à cause des valeurs absolues, je pense que l'inégalité triangulaire de l'intégrale devrait suffire : $|\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d}t| \leq \displaystyle \int_{a}^{b} |f(t)| \, \mathrm{d}t$ et après tu utilises la croissance de l'intégrale).

N'hésite pas à demander si la piste n'aboutit pas ;)

Dernière modification par Maenwe (25-09-2019 18:10:33)

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#13 25-09-2019 20:12:13

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Re,

Merci Maenwe pour ta réponse.
Je  vais étudier tout ça.
Je reviens vers toi si je bloque sur quelque chose.
Bonne soirée et encore merci.

#14 26-09-2019 08:56:01

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Bonjour,

Je pense avoir compris Maenwe même si je ne suis pas sur de savoir calculer la dérivé n-ieme de f par récurrence (je vais essayer).
Ensuite si j'ai bien raisonné,  que Cn= (la dérivé n-ieme de f /n!). C'est ça?
Merci.

#15 26-09-2019 12:02:44

hppc07
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Re : Formule de Taylor

Bonjour Maenwe,

Merci pour vos indications, j'avais effectivement pensé à remplacer $\tau$ par $t^{4}$ mais j'avoue que je ne comprends pas comment on arrive à se retrouver avec une sommation de 0 à 4N, ni même l'apparition des exponentielles... Est-ce qu'il faut partir directement du membre de gauche de l’inégalité, i.e $|\dfrac{x}{e^x} \displaystyle \int_{0}^{1} \frac {e^{x.t}}{\sqrt{1+t^{4}}} \, \mathrm{d}t - \sum_{n=0}^{4N} c_{n}|$ . pour essayer de majorer par $|c_{N+1}|$ plus un certain $\epsilon_N(x)$ à déterminer, ou bien faut il partir de l'inégalité de la question 2) ? Dans les deux cas je trouve ça compliqué ! A nouveau, une petite aide serait la bienvenue si vous avez le temps :D Merci !!

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#16 26-09-2019 12:05:47

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonjour,
@Basile, pour la dérivée n-ième j'ai d'abord utilisé mon intuition pour deviner ce que pourrait être la dérivée (sur mon brouillon j'ai calculé la dérivée 1ère et seconde et regardé les similarités entre les deux, et j'ai extrapolé en utilisant un raisonnement par récurrence), voudrais tu les détails de la récurrence ?
Et pour la suite $(c_{n})$ c'est presque ça, en fait de la façon dont tu as définis ta suite c'est une suite de fonctions, et ce qu'on veut c'est une suite de nombres, la réponse exacte est donc : $c_{n} = \frac{f^{n}(0)}{n!}$. Il s'avère que $f^{n}(0)=k_{n}$ et que $f^{n}$ est bornée par $|k_{n}| = |f^{n}(0)|$ ce qui permet d'appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange (voir #6). Et le fait que ça réponde à la question est dû au fait que la dérivé n-ième évaluée en 0 est aussi un majorant (en valeur absolue) de $f^{n}$.

Dernière modification par Maenwe (26-09-2019 12:07:34)

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#17 26-09-2019 12:55:32

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonjour,

Effectivement ça n'a pas l'air très simple... Cependant les calculs sont faisable, donc regardons si ça aboutit (je ne le sais pas encore par ailleurs) :
J'ai fais quelques calculs et par intégration pas partie successives tu obtiens pour tout entier naturel n:
$\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x.t}.t^{N} \, \mathrm{d}t = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{N!}{(N-k+1)!}.\frac{e^{x}.(-1)^{k-1}}{x^{k}} + \frac{N!.(-1)^{n}}{(N-n)!.x^{n}}.\displaystyle \int_{0}^{1} e^{x.t}.t^{N-n} \, \mathrm{d}t$.

Alors la bonne nouvelle avec cette expression "très pas belle" c'est que tu fais apparaitre le $x$ et $e^{x}$ que l'on voulait, ce qui me fait penser que l'on ait sur la bonne voie... Je n'ai pas le temps de voir si ça marche, mais on pourrait essayer de faire apparaitre un coefficient binomiale d'une manière ou d'une autre pour faire disparaitre cette somme.

Dernière modification par Maenwe (26-09-2019 13:02:29)

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#18 26-09-2019 14:48:08

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Re,

1. Je veux bien le détail de la récurrence car la similitude que j'ai trouvé entre la dérivé première et la dérivé seconde est:
1/ (1+T)^(1/2). (1+T)^n au dénominateur. Mais après pour la récurrence, j'ai du mal. Au passage on est d'accord que la fonction f de départ  que l'on dérive est 1/(1+T)^(1/2) et non la fonction f de l'énoncé ?

2. Pour moi la formule de Taylor Lagrange s'écrit

f (T) = P(T) + R(T)
avec P(T)= somme de 0 à N de (( dérivé n-ieme (a) /n!)).(T-a)^n
et pour R(T) ((dérivé n+1-ieme de c) /(n+1)! ).(T-a)^(n+1)

On obtient donc l'inégalité demandée en prenant a=0 c =N+1 et en utilisant l'inégalité triangulaire appliquée à| f(T)-P(T)| < | R(T)|. C'est cela?

Encore merci.

#19 26-09-2019 17:08:40

hppc07
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Re : Formule de Taylor

Merci Maenwe pour votre contribution indispensable ! Je vais également chercher dans votre direction dès que j'ai le temps et je reviendrais vers vous pour vous exposer mon avancement, encore merci !

Basile, pour la remarque 1) oui c'est bien votre fonction non celle de l'énoncé, et pour votre remarque 2) je dirais que c'est bien ça également, par contre P(T) n'est pas un polynôme mais devient une série numérique classique, sauf erreur.

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#20 26-09-2019 19:47:41

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Re,

Merci hppc07 pour ta réponse.

#21 07-10-2019 17:21:47

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Maenwe a écrit :

Bonjour,
@Basile, pour la dérivée n-ième j'ai d'abord utilisé mon intuition pour deviner ce que pourrait être la dérivée (sur mon brouillon j'ai calculé la dérivée 1ère et seconde et regardé les similarités entre les deux, et j'ai extrapolé en utilisant un raisonnement par récurrence), voudrais tu les détails de la récurrence ?
Et pour la suite $(c_{n})$ c'est presque ça, en fait de la façon dont tu as définis ta suite c'est une suite de fonctions, et ce qu'on veut c'est une suite de nombres, la réponse exacte est donc : $c_{n} = \frac{f^{n}(0)}{n!}$. Il s'avère que $f^{n}(0)=k_{n}$ et que $f^{n}$ est bornée par $|k_{n}| = |f^{n}(0)|$ ce qui permet d'appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange (voir #6). Et le fait que ça réponde à la question est dû au fait que la dérivé n-ième évaluée en 0 est aussi un majorant (en valeur absolue) de $f^{n}$.

Re,

Ce serait possible d'avoir le détail de la récurrence, s'il vous plait ?

Merci.

#22 07-10-2019 20:20:00

Maenwe
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Re : Formule de Taylor

Bonsoir,

Pas de problème.
La propriété que l'on veut démontrer est : $f^{(n)}(t) = \frac{k_{n}}{\sqrt{1+t}(1+t)^{n}}$ avec $k_{n} = (-1)^{n} \prod\limits_{i=0}^{n-1} (\frac{1}{2}+i)$.

Initialisation :
Pour $n=0$, on a $f^{(0)}=f$ et $k_{0}=1$ (par convention un produit vide est égal à 1 et une somme vide égale à 0) et on vérifie aisément l'égalité.

Hérédité : Supposons l'égalité vraie au rang n.
$f^{(n)}(t) = \frac{k_{n}}{\sqrt{1+t}(1+t)^{n}}$ , donc : $f^{(n+1)}(t) = -k_{n}\frac{\frac{(1+t)^{n}}{2\sqrt{1+t}}+n(1+t)^{n-1} \sqrt{1+t}}{(1+t)^{2n+1}}$.

Et en réécrivant tu obtiens : $f^{(n+1)}(t) = -k_{n}\frac{\frac{(1+t)^{n-1}\sqrt{1+t}}{2}+n(1+t)^{n-1} \sqrt{1+t}}{(1+t)^{2n+1}}$ et donc :

$f^{(n+1)}(t) = -k_{n}(1+t)^{n-1}\sqrt{1+t}\frac{\frac{1}{2}+n}{(1+t)^{2n+1}}$, ainsi :

$f^{(n+1)}(t) = -k_{n}(\frac{1}{2}+n)\frac{(1+t)^{n-1}\sqrt{1+t}}{(1+t)^{2n+1}}$ ce qui donne finalement :

$f^{(n+1)}(t) = \frac{k_{n+1}}{(1+t)^{n+1}\sqrt{1+t}}$

Et la récurrence est établie.

Hors ligne

#23 07-10-2019 20:50:55

Basile
Invité

Re : Formule de Taylor

Merci beaucoup.

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