Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Super Yoshi

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démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

Bonjour,

le but de mon exercice est d'écrire la proposition sous forme d'implication puis ça contraposée et la démontrer. Voila La proposition :

P1: Soient m ∈  ℕ. et n ∈  ℕ. deux entiers impaires tels que m divise 2n, alors m divise n

voilà ce que j'ai commencé à faire :

implication : \forall (m,n) ∈ ℕ, (m,n) impaires, (2n|m) => (m|n)
contraposée : \forall (m,n) ∈ ℕ,  non(m|n) => ( (m,n)pair, non(2n|m))

cependant je suis bloque pour démontrer la contraposée, je ne sais pas par quoi commencer. Pouvez vous me donner quelques indications svp et aussi savoir si ce que j'ai fait est correcte.

( je suis nouveau dans le forum)

Merci.

Maenwe

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Re : démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

Bonjour,

Tu as très bien traduis la proposition avec les quantificateurs (hormis le fait que tu ais écris $2n|m$ à la place de $m|2n$) , qui peut d'ailleurs s'écrire encore plus synthétiquement :
$\forall (m,n) \in (2\mathbb{N}+1)^{2}, (m|2n \implies  m|n)$

Par contre la contraposé de la proposition n'est pas celle qe tu as écrite, tu t'es un peu mélangé les pinceaux : la contraposé de $A \implies B$ est $ non(B) \implies non(A)$ (c'est comparable à l'inclusion, si $A \subset B$ et $x \not \in B$ alors $x \not \in A$). Ce qui donne dans ton cas : $\forall (m,n) \in (2\mathbb{N}+1)^{2}, (m \not \mid n \implies m\not \mid 2n)$.

Et pour montrer la contraposé tu peux commencer par raisonner par l'absurde en supposant que : $m|2n$. Et dans ton raisonnement par l'absurde tu peux utiliser le lemme de Gauss : si $c|ab$ et $pgcd(a,c)=1$ alors $c|b$.

Dernière modification par Maenwe (06-10-2019 15:02:38)

Super Yoshi

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Re : démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

bonsoir,

Merci pour la correction de la contraposée, mais est ce qu'il y aurais un autre moyens pour la démontrer hormis le lemme de Gauss car nous ne l'avons pas fait en cour.

Merci

Maenwe

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Re : démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

Re,

En re-regardant la contraposé, oui il y a un moyen (en fait un peu moins direct que le lemme de Gauss mais tout aussi faisable). Tu peux toujours raisonner par l'absurde comme je l'ai fais en supposant que $m|2n$ ce qui est équivalent à dire :
il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que, $2n = km$. Et après tu regardes à quoi peut bien ressembler $k$ pour qu'il vérifie une telle égalité.

Super Yoshi

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Re : démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

rebonjour,

Du coup il faudra étudier le cas pair et impair de k c'est ça ?

Maenwe

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Re : démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

Bonsoir,

Oui c'est ça, mais je t'épargne ce tracas, tu peux voir directement si k doit être pair ou impair sachant que 2n est pair et m est impair. Je ne sais pas si tu as vu ça mais le produit de deux nombres impairs reste impair...

Super Yoshi

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Re : démonstration par contraposée (chapitre sur les ensembles 1er année)

re,

je viens de comprendre la contradiction du coup l'exo est fini.

merci d'avoir pris le temps de m’expliquer