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#1 30-09-2019 22:55:50

hassan
Invité

Irrationnalité de $\sqrt n/\sqrt{n+2}$

Bonjour
Montrer que : √(n/(n+2))    est un irrationnel  (ou n est un entier
Naturel non nul).

#2 01-10-2019 08:55:14

Matou
Invité

Re : Irrationnalité de $\sqrt n/\sqrt{n+2}$

Bonjour,

Tu peux t'inspirer de la démonstration classique de l'irrationalité de [tex]\sqrt{2}[/tex].

Je te donne des indications, attention, ce n'est pas une rédaction propre du raisonnement.

Supposons que [tex]\sqrt{\frac{n}{n+2}} = \frac{p}{q}[/tex] avec [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] deux entiers premiers entre eux.

Je propose d'écrire [tex]\frac{n}{n+2} = \frac{k}{l}[/tex] avec [tex]k[/tex] et [tex]l[/tex] deux entiers premiers entre eux. C'est toujours possible et ça évite des cas particuliers.

Alors [tex]k \cdot p^2 = l \cdot q^2[/tex].

Il s'ensuit que [tex]l[/tex] divise [tex]p^2[/tex]puisque [tex]k[/tex] et [tex]l[/tex] sont premiers entre eux.

Donc [tex]l[/tex] divise [tex]p[/tex] et [tex]p^2 = l^2 \cdot p_1^2[/tex].

Il vient [tex]l \cdot p_1^2 = q^2[/tex], après quelques manipulations simples. Donc [tex]l[/tex] divise [tex]q
[/tex]. On a une contradiction avec [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers entre eux.

Voila une trame possible du raisonnement....

Matou

#3 01-10-2019 09:03:37

Matou
Invité

Re : Irrationnalité de $\sqrt n/\sqrt{n+2}$

Re,

en fait, le point crucial est de montrer que [tex]k[/tex] et [tex]l[/tex] ne peuvent être des carrés d’entiers naturels et du coup, je n'ai pas démontré grand-chose. J'y réfléchis et je reviens...

Matou

#4 01-10-2019 09:49:23

Matou
Invité

Re : Irrationnalité de $\sqrt n/\sqrt{n+2}$

Re,

supposons que [tex]\frac{n}{n+2} = \frac{p^2}{q^2}[/tex] avec [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] deux entiers non nuls premiers entre eux.

Il vient [tex]n \cdot \left( q^2 - p^2 \right) = 2 \cdot p^2[/tex].

Si [tex]n[/tex] est pair, [tex]n_1 \cdot \left( q^2 - p^2 \right) = p^2[/tex]. Or, [tex]p^2[/tex] ne peut diviser [tex]\left( q^2 - p^2 \right)[/tex] sinon les deux entiers ne seraient pas premiers entre eux, et donc, [tex]p^2[/tex] divise [tex]n_1[/tex]. Il vient alors [tex]n_1 = k \cdot p^2[/tex] et [tex]k \cdot \left( q^2 - p^2 \right) = 1[/tex]. Donc [tex]\left( q + p \right) \cdot \left( q - p \right) = 1[/tex], ce qui est impossible avec des entiers non nuls.

Si [tex]n[/tex] est impair, [tex]2[/tex] divise [tex]\left( q^2 - p^2 \right)[/tex]. Alors, [tex]q^2 = p^2 + 2 \cdot k[/tex]. En divisant par [tex]q^2[/tex], il vient [tex]\frac{n}{n+2} + \frac{2 \cdot k}{q^2}  = 1[/tex] et donc [tex]q^2 = k \cdot (n+2)[/tex]. En reportant dans [tex]q^2 = p^2 + 2 \cdot k[/tex], on voit que [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] ne sont pas premiers entre eux.

Bon, je n'aurais peut-être pas dû me lancer là-dedans ce matin, ma démonstration est confuse, je suis sûr qu'on peut faire plus simple...

Matou

#5 02-10-2019 22:30:02

Pierre2
Invité

Re : Irrationnalité de $\sqrt n/\sqrt{n+2}$

Bonjour,
Partant de [tex]n⋅(q^2−p^2)=2⋅p^2[/tex], comme [tex]p^2[/tex] est premier avec [tex]q^2-p^2[/tex], [tex]p^2[/tex] divise [tex]n[/tex] (lemme de Gauss). En posant [tex]n=m p^2[/tex] on arrive à m(q-p)(q+p)=2. Mais [tex]q>p>0[/tex] donc [tex]p+q\ge 3[/tex] ne peut pas diviser [tex]2[/tex].

#6 03-10-2019 09:14:53

Matou
Invité

Re : Irrationnalité de $\sqrt n/\sqrt{n+2}$

Bonjour,

une démonstration de Pierre2 bien plus brillante que la mienne.

Matou

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