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#1 14-09-2019 10:14:33

mati
Membre
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edp inéaire

Bonjour
je bloque sur la résolution de l'edp suivante: trouver $v(\tau,z)$ telle que
$$
\partial_{\tau} v - \nu \partial_z^2 v =0,
$$
où $\nu$ est une constante.

Merci par avance pour toute aide.
Bien cordialement

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#2 15-09-2019 16:36:19

Roro
Membre régulier
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Messages : 727

Re : edp inéaire

Bonjour,
Il s'agit de l'équation de la chaleur en dimension 1.
Pour la résoudre, il faut ajouter des conditions aux limites et une condition initiale.
Tu peux ensuite utiliser les séries de Fourier...
Roro.

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#3 17-09-2019 06:48:37

mati
Membre
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Messages : 110

Re : edp inéaire

Bonjour
j'ai une question assez complexe pour moi.
Si on pose
$$
u(x,t)= a(t) \dfrac{\partial_z v(\tau,z)}{v(\tau,z)} + b(t) x + c(t)
$$
avec $\tau=\tau(t)$ et $z= \alpha(t) x + \beta(t)$.
où les fonctions $a, b, c \alpha, \beta$ sont connues.
Si on impose sur $u$ les conditions: u(x,0)=0, u(0,t)=u(1,t)=0. Est-ce qu'on peut en déduire des conditions initiale et aux limites sur $v$?

Bien cordialement

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#4 17-09-2019 09:31:48

Roro
Membre régulier
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Re : edp inéaire

Bonjour,

Je ne comprend pas la question... que sont $a$, $b$ ou $\tau$ ?
Si tu ne les connais pas je ne vois pas du tout comment tu peux en déduire quoi que ce soit sur $v$.
Ou veux-tu en venir ?

Roro.

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#5 17-09-2019 11:23:07

mati
Membre
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Re : edp inéaire

Non, j'ai bien dit que les fonction a, b , c, $\alpha$ et $\beta$ sont connues on les connaît.
Je cherche à déduire des conditions initiale et aux limites sur v (en utilisant la relation entre $u$ et $v$ et aussi du fait qu'on sait que $u(x,0)=0, u(1,t)= u(0,t)=0$), afin  de résoudre l'edp linéaire du premier message. C'est possible?

Bien cordialement

Dernière modification par mati (17-09-2019 11:24:57)

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#6 17-09-2019 14:17:10

Roro
Membre régulier
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Re : edp inéaire

Je vois bien que les fonctions a, b, c, ... sont des données mais sans en savoir plus on ne peut rien dire !
Regarde par exemple le cas où $a=0$.

Roro.

P.S. J'ai l'impression que ce fil de discussion est très lié à un autre fil que tu as lancé (et que je n'ai pas lu) ???

Dernière modification par Roro (17-09-2019 14:18:05)

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#7 17-09-2019 16:50:46

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,

j'ai peut-être une idée (je n'ai jamais fait de latex, mais je me lance )...
solution du type $\cos(wz+T) + \sin(wz+T)$ :

$v(\tau,z) = \cos (\omega \times z + \tau), + \sin(\omega \times z + \tau)$
$\frac{\partial v}{\partial\tau} = -\sin (\omega \times z + \tau), + \cos(\omega \times z + \tau)$
$\frac{\partial v}{\partial z} = -\omega \sin (\omega \times z + \tau), +\omega  \cos(\omega \times z + \tau)$
$\frac{\partial^2 v}{\partial z} = -\omega^2 \cos (\omega \times z + \tau), -\omega^2  \cos(\omega \times z + \tau) = -\omega^2 \times \frac{\partial v}{\partial\tau}$

$\upsilon= \frac{1}{\omega^2}$

[EDIT] @Yoshi
Ce n'est pas avec \n que tu gères les retours à la ligne, mais avec \\
J'ai supprimé ton 2e post aussi illisible que le 1er (et la Prévisualisation ??)
Le deux balises tex c'est pour les formules, une paire pour chaque...
On peut les remplacer par le symbole $
J'ai encadré chaque ligne avec...

Dernière modification par yoshi (17-09-2019 17:08:50)

#8 17-09-2019 17:40:29

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Un grand merci Yoshi pour ton aide pour Latex.

#9 17-09-2019 18:10:40

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Re : edp inéaire

LCTD merci pour l'idée. Je ne suis pas sure de comprendre. Vous avez trouvé une unique solution? Et comment savoir si avec ce $v$ les conditions initiales et aux limites sur u sont satisfaites?

Bien cordialement

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#10 18-09-2019 11:33:23

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,

la solution générale de ta première équation est :
[tex]C1 \times \cos(\omega z ,+, \tau),+, C2\times \sin(\omega z ,+, \tau)[/tex]
où C1 et  C2 sont à trouver ( en générale avec les conditions initiales). Il semble que les conditions initiales ne sont pas données sur v mais sur u qui dépend de v.
Tu connais la solution générale , tu peux remplacer dans u(x,t),
en appliquant les conditions initiales sur u(x,t) tu as un système avec 3 équations contenant C1 et C2,
tu peux donc trouver C1 et C2 en fonctions des éléments données.

#11 19-09-2019 16:36:15

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,

Suite à tes questions, j'ai continué à chercher, en y regardant de plus prés on constate qu'il existe 2 solutions particulières :
[tex] S-1=\cos(\omega\times z) et S_2 = \sin(\omega \times z) [/tex]

la solution générale de ta première équation est une combinaison linéaire des 2 :
[tex]C1 \times \cos(\omega z)+ C2\times \sin(\omega z) [/tex],

#12 29-09-2019 07:51:54

mati
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Messages : 110

Re : edp inéaire

Bonjour LCTD
mais moi je cherche la solution générale, et après avoir cherché, je trouve qu'elle s'écrit sous la forme suivante:
$$
v(\tau,t)= \sum_{\mathbb{N}} \delta_n \exp(- (n\pi/L)^2 \nu t) (\alpha \cos(k_n t + \phi_n) + \beta \sin (k_n t+\phi_2))
$$
où les $\phi_i, \alpha, \beta$ et $k_n$ viennent des conditions aux limites et initiales.
Mais comment on se débarrasse de la somme sur $n$?

Aussi dans votre solution, on ne voit pas $\tau$.
Cordialement

Dernière modification par mati (29-09-2019 08:19:54)

Hors ligne

#13 29-09-2019 17:35:38

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,

Je n'ai pas assez d'élément sur ton exercice pour comprendre d'où vient le n, et en plus j'ai fait une erreur ( mille pardon) sur la solution générale de ta première équation, car en regardant mes calculs j'ai vu que j'ai remplacer le - par un plus dans ton énoncé. L'esprit de la solution générale reste le même sauf que, il existe 2 solutions particulières :
[tex] S_1=\operatorname{ch}(\omega\times z) et S_2 = \operatorname{sh}(\omega \times z) [/tex]

la solution générale de ta première équation est une combinaison linéaire des 2 :
[tex]C1 \times \operatorname{ch}(\omega z)+ C2\times \operatorname{sh}(\omega z) [/tex],

En plus, tu as [ tex] ch(wz) = frac{\exp{\omega \times z }+\exp{_\omega \times z }}[ /tex]

Dernière modification par yoshi (29-09-2019 17:44:01)

#14 29-09-2019 18:33:51

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,


J'ai réfléchi à ce que tu trouve,je pense que tu ne peux pas de passer des n car il s'agit sans doute de "fréquences propres" de ton système, à mon avis [tex]\tau[/tex] est une longueur (peut-être une distance de propagation de longueur avec pour valeur max L), je croix comprendre que cette équation correspond à une propagation d'un signal dans le temps et sur une certaine distance et ce faisant il se décompose en plusieurs fonctions circulaires ( ou harmoniques) d'où la somme.

(je refais erreur latex , j'ai trop vite validé)
J'ai fait une erreur (mille pardon) sur la solution générale de ta première équation, car en regardant mes calculs j'ai vu que j'ai remplacer le - par un plus dans ton énoncé du début. L'esprit de la solution générale reste le même sauf que, il existe 2 solutions particulières La fonction cosinus hyperbolique et La fonction sinus hyperbolique:
[tex] S_1=ch(\omega\times z) et S_2 = sh(\omega \times z) [/tex]

la solution générale de ta première équation est une combinaison linéaire des 2 :
[tex]C1 \times ch(\omega z)+ C2\times sh(\omega z) [/tex],

En plus, tu as [tex] ch(\omega\times z)= \frac {e^{\omega \times z } + e^{-\omega \times z }} {2}[/tex]
En plus, tu as [tex] sh(\omega \times z)= \frac {e^{\omega \times z }-e^{-\omega \times z }} {2}[/tex]

#15 29-09-2019 18:46:32

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,

Dans ma solution, on ne voit pas [tex] \tau [/tex], car j'ai juste fourni une piste pour d'aider.

#16 29-09-2019 23:26:46

LCTD
Invité

Re : edp inéaire

Bonjour,


On peut faire apparaitre [tex] \tau [/tex] en écrivant :
[tex] S_1=\tau \cos(\omega\times z) [/tex] et [tex] S_2 = \tau \times sin(\omega \times z ) [/tex]

#17 30-09-2019 04:55:33

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 727

Re : edp inéaire

Bonjour,

Je crois que j'avais donné une piste dans le post #2 en évoquant les séries de Fourier.

C'est exactement ce qui est fait lorsque tu as introduit la série (somme sur $n$). De manière générale, tu ne peux pas avoir une somme finie. Le seul cas où la somme sera finie correspondra au cas où la condition initiale ne compte qu'un nombre fini de modes propres...

Roro.

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