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#1 29-07-2015 12:05:42

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Exprimer un produit en factoriel

Bonjour à tous, comment je peut exprimer le produit suivant
[tex]2\times 4 \times 6\times 8\times 10 \times  12  [/tex]
en factoriel?
Merci d'avance

Dernière modification par Mouhcine (29-07-2015 12:06:42)

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#2 29-07-2015 12:25:31

Roro
Membre régulier
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Messages : 727

Re : Exprimer un produit en factoriel

Bonjour Mouhcine,

Puisque tous les nombres qui apparaissent sont des entiers pairs, tu peux toujours mettre 2  en facteur :

[tex]2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12 = 2^6 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6) = 2^6 \times 6!
[/tex]

Roro.

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#3 29-07-2015 12:43:45

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Re : Exprimer un produit en factoriel

Bonjour Roro, ok, et je voudrais aussi exprimer
[tex](a+ 9)\times (a+ 7)\times (a+ 5)\times (a+ 3)\times (a+ 1)[/tex]
en factoriel?
avec [tex]a [/tex] un nombre fixé.
Merci d'avance

Dernière modification par Mouhcine (29-07-2015 13:20:26)

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#4 29-07-2015 13:21:20

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Re : Exprimer un produit en factoriel

Non, je corrige
[tex](n+ 9)\times (n+ 7)\times (n+ 5)\times (n+ 3)\times (n+ 1)[/tex]
en factoriel?
avec [tex]n\in \mathbb N[/tex] fixé.

Dernière modification par Mouhcine (29-07-2015 13:21:43)

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#5 29-07-2015 13:39:43

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 464

Re : Exprimer un produit en factoriel

Salut,
J'ai peut-être une piste pour t'aider mais je n'en suis pas sur:

(n+9)×(n+7)×(n+5)×(n+3)×(n+1) = (n+9)! / ((n+8)*(n+6)*(n+4)*(n+2)*n!)

mais si c'est juste, je ne sais pas mettre ce qu'il y a en rouge en factorielle mais au moins c'est "pair" et ca ne comporte que 4 produits contre 5 pour l'expression de base.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#6 29-07-2015 13:51:49

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 727

Re : Exprimer un produit en factoriel

Re,

Concernant le produit [tex](n+9)\times (n+7)\times (n+5) \times (n+3) \times (n+1)[/tex], tu peux commencer par regarder ce qui se passe lorsque l'entier n est impair (et fait comme je te le proposais au post 2).

Lorsque n est pair, il faut une petite astuce (en rajoutant les termes manquants au dénominateur et au numérateur...). Je te laisse regarder et n'hésite pas à re-poster lorsque tu as quelque chose à proposer !

Roro.

Dernière modification par Roro (29-07-2015 13:53:40)

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#7 29-07-2015 13:55:14

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Re : Exprimer un produit en factoriel

Bonjour Terces, merci pour ton indication, j'ai fait ce que tu as écrit, mais ça marche pas, car mon expression exacte est donné par le produit suivant

[tex][2n+(2k+1)] \times [2n+(2k+3)] \times [2n+(2k+5)] \times..... [/tex]

Pour [tex]k\in \mathbb N[/tex]  et [tex]n\in N[/tex] fixé.

Dernière modification par Mouhcine (29-07-2015 14:04:33)

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#8 29-07-2015 14:07:12

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Re : Exprimer un produit en factoriel

Oui Roro, Dans mon cas [tex]n[/tex] est pair, donc l'expression du produit est donné par
[tex](2m+9)\times (2m+7)\times (2m+5) \times (2m+3) \times (2m+1)[/tex]
Avec [tex]m\in \mathbb N[/tex] fixé.

Dernière modification par Mouhcine (29-07-2015 14:08:31)

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#9 29-07-2015 14:14:42

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Re : Exprimer un produit en factoriel

Donc, c'est la formule que Terces a proposé
[tex](2m+9)\times (2m+7)\times (2m+5) \times (2m+3) \times (2m+1) = \frac{(2m+9)!}{(2m+8)\times (2m+6)\times (2m+4) \times (2m+2) \times (2m)!}[/tex]
N'est ce pas?

Dernière modification par Mouhcine (29-07-2015 14:16:00)

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#10 29-07-2015 15:08:54

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 622

Re : Exprimer un produit en factoriel

Salut,

ne pas oublier la double factorielle définie comme suit [tex] n!!=n\times (n-2) \times (n-4) ...[/tex]
@+


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#11 29-07-2015 15:15:35

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 622

Re : Exprimer un produit en factoriel

Re,

un lien intéressant !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#12 29-07-2015 15:20:13

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 464

Re : Exprimer un produit en factoriel

Re,
Intéressé par tout ceci j'ai fait une petite recherche et j'ai trouvé la notation de "double factorielle" (que vous connaissez sans doute déjà):

n!! = n*(n-2)*(n-4)*...
donc ton problème devient si je ne me trompe pas:
(n+9)!! / (n-1)!!

après, il faut voir ce qu'on peut en tirer... avec les différentes propriétés existantes sur ces multifactorielles.



Salut freedy, je viens de voir à l'instant tes messages sur la double factorielle, désolé pour la petite répétition.

Dernière modification par Terces (29-07-2015 15:25:27)


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#13 29-07-2015 20:30:59

Mouhcine
Membre
Inscription : 22-09-2014
Messages : 106

Re : Exprimer un produit en factoriel

Ok, merci beaucoup Terces, freddy et Roro pour l'aide.
à bientôt

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#14 12-09-2019 19:13:28

Flyhox
Invité

Re : Exprimer un produit en factoriel

Roro a écrit :

Bonjour Mouhcine,

Puisque tous les nombres qui apparaissent sont des entiers pairs, tu peux toujours mettre 2  en facteur :

[tex]2 \times 4 \times 6 \times 8 \times 10 \times 12 = 2^6 \times (1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6) = 2^6 \times 6!
[/tex]

Roro.

Bonsoir, pourquoi avoir mis 2^6 lors de la mise en facteur de 2 ?

#15 12-09-2019 20:06:58

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 639

Re : Exprimer un produit en factoriel

Bonsoir,

2 = 2 x 1
4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
8 = 2 x 4
10= 2 x 5
12= 2 x 6

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#16 26-09-2019 17:45:01

eldaty
Membre
Inscription : 26-09-2019
Messages : 2

Re : Exprimer un produit en factoriel

Mouhcine a écrit :

Bonjour Terces, merci pour ton i usa today protonmailndication, j'ai fait ce que tu as écrit, mais ça marche pas, car mon expression exacte est donné par le produit suivant

[tex][2n+(2k+1)] \times [2n+(2k+3)] \times [2n+(2k+5)] \times..... [/tex]

Pour [tex]k\in \mathbb N[/tex]  et [tex]n\in N[/tex] fixé.

Puisque tous les nombres qui apparaissent sont des entiers pairs, tu peux toujours mettre 2  en facteur :

Dernière modification par eldaty (27-09-2019 01:04:11)

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