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#1 18-09-2019 19:48:22

Nelcar
Membre
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Messages : 92

résoudre les équations dans R

Bonjour,
voici le travail que j'ai à faire :
résoudre les équations dans R en utilisant la méthode la plus pertinente
a) -x²-5x+3=0 j'ai fait le discriminant et j'ai trouvé 1/2 et -3
b) x²+7x=0 j'ai x(x+7) donc x= 0 ou x = -7
c) 5x²+7x+18=0 j'ai fait en faisant la forme canonique et j'ai trouvé x=7/10
d) x²+x+1=0 j'ai fait le discriminent et j'ai trouvé -4 donc pas de solution
e) -4x²+x=0 j'ai fait x(-4x+1)=0 donc soit x=0 ou x= -1/4
f) -4x²+x+1=0 j'ai fait par le discriminent j'ai trouvé x1= -3/8 et x2=5/8
g)-160x²-74x+3=0 j'ai fait en faisant la forme canonique et j'ai trouvé x=37/160
h) 6x²+72x+216=0 j'ai fait par le discriminent j'ai trouvé 0 donc seule solution -72/2x6 soit x=-6
Merci de me dire ce que vous en pensez car j'ai des doutes

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#2 19-09-2019 09:40:47

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 639

Re : résoudre les équations dans R

Bonjour,

a) Non.
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times(-1)\times 3 = 25+12=37=(\sqrt{37})^2$

b) Petite erreur de logique : il y a deux solutions x=0 et x =-7

c) J'aurais plutôt utilisé le discriminant, parce que là, c'est chercher à faire des erreurs à tout prix !
En effet :
$5x^2+7x+18=5\left(x^2+\dfrac 7 5 x+\dfrac{18}{5}\right)=5\left[\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49}{100}+\dfrac{18}{5}\right]=5\left[\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2-\dfrac{49-360}{100}\right]=5\left[\left(x+\dfrac{7}{10}\right)^2+\dfrac{311}{100}\right]$
Pas de solution.
Autre preuve :
$\Delta = 49-4\times 5\times  18=49=49-360= -311$

d) Vrai. Mais réponse qui sera refusée... En effet $\Delta=1^2-4\times 1 \times 1 = 1-4 = -3$ et non -4.

e) Erreur, je l'ai déjà vu la dernière fois : $-4x+1=0\;\Leftrightarrow\; x=\dfrac 1 4$, erreur de signe. De plus c'est et, pas ou.

f) Erreur
$\Delta = 1^2-4\times (-4)\times 1= 1+16= 17=(\sqrt{17})^2$ Numérateurs de tes solutions faux.

g) Même remarque que plus faut. Ici encore utiliser forme canonique, c'est chercher à faire des erreurs.
$-160x^2-74x+3=-160\left(x^2+\dfrac{74}{160} x-\dfrac{3}{160}\right)=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\dfrac{1369}{25600}-\dfrac{3}{160}\right]$

Et tu vas tomber sur :
$-160x^2-74x+3=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\dfrac{1369+480}{25600}\right]=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{1849}}{160}\right)^2\right]$

h) La forme la plus appropriée était de factoriser d'abord par 6 :
$6x^2+72x+216=6(x^2+12x+36=$ et là on voit $a^2+2ab+b^2$. Donc :
$6x^2+72x+216=6(x^2+12x+36)=6(x+6)^2$
Une solution double $x_1=x_2=-6$

@+

Dernière modification par yoshi (19-09-2019 14:08:53)


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#3 19-09-2019 12:53:50

Nelcar
Membre
Inscription : 05-03-2019
Messages : 92

Re : résoudre les équations dans R

Bonjour,
merci pour ta réponse. En regardant en détail je me suis rendu compte que j'ai fait une erreur dans le a) -x²-5x+3=0 en effet ce n'est pas -x² mais -2x² donc là j'ai fait le discriminent et j'ai deux solutions -3 et 1/2
ok pour le b)
ok pour le c)
en effet pour le d) c'est bien -4 pour le discriminent
pour le e) en effet erreur de signes donc deux solutions 0;1/4
pour le f) j'ai des doutes en effet j'ai fait une erreur dans le discriminent qui est 17 donc x1=(-1+racine17)/-8= 3racine1/-8
et x2 = (-1-racine17)/-8=5racine1/8 je ne suis pas sûr de moi
pour le g) discriminent est de 7396 donc deux solutions x1 = -1/2 et x2= 3/80
pour le h) je vois bien qu'en factorisant par 6 on a une identité remarquable et que b est racine de 36 soit 6
donc 6(x+6)²
par contre je ne comprends pas pourquoi une solution double et comment avez-vous fait. En faisant le discriminent je trouve 0 donc une solution x=-6
Merci beaucoup.

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#4 19-09-2019 15:03:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 639

Re : résoudre les équations dans R

Re,

Solution double : c'est dans ta leçon.
Si tu as un discriminant <0 pas de solution.
Si tu as un discriminant =0 une solution double.
Si tu as un discriminant >0 deux solutions distinctes.
Interprétation géométrique.
$y=ax^2+bx+c$ est l'équation d'une parabole. Elle passe par un minimum ou maximum appelé sommet.
Si l'axe des abscisses, d'équation y = 0, est tangente à la courbe ou la traverse il y a une ou deux solutions... Ta courbe possède un axe de symétrie qui est la droite verticale passant par le sommet.
En conséquence, s'il y a deux solutions, quelles qu'elles soient, les points qui ont pour abscisses ces deux solutions seront toujours symétriques par rapport à cet axe.
Suppose une parabole qui coupe l'axe des x en 2 endroits, suppose que tu fasses glisser son sommet le long de l'axe de symétrie vers le bas si a>0 vers le haut si a<0. Que vois-tu ? Tu vois que les deux points d'intersection se rapprochent l'un de l'autre, jusqu'à ne faire plus qu'un... avec le sommet. On dit alors que "la" solution est double...
C'est bon, j'espère ne pas t'avoir embrouillée ?


Pour le
f) Encore faux ! Solutions :  $x_1,x_2=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}$

g) $\Delta=(-74)^2-4\times(-60)\times 3=5476+720=8196=(86)^2$
$x_1,x_2=\dfrac{74\pm 86}{-320}=-\dfrac 1 2,\;\dfrac{3}{80}$

Et je reprends ma forme canonique, un morceau ne pouvait pas être lu dans mon post précédent :
$-160x^2-74x+3=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{1849}}{160}\right)^2\right]=-160\left(x+\dfrac{37}{160}+\dfrac{43}{160}\right)\left(x+\dfrac{37}{160}-\dfrac{43}{160}\right)$

Soit :
$-160x^2-74x+3=-160\left(x+\dfrac 1 2\right)\left(x-\dfrac{3}{80}\right)$

Tu as dû apprendre maintenant que tu connais le calcul du discriminant que la forme canonique associée au trinôme $ax^2+bx+c$ était :
$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$
Alors tu pourrais poser la question : pourquoi mon $\Delta$ est-il 7396 et non 1849 (avec erreur de relecture de mes "pattes de mouche", j'avais écrit 1819, c'est rectifié) ???

Et bien
1. Parce que si j'ai commencé par écrire $\dfrac{74}{160}$ ensuite j'ai simplifié pour écrire $\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2$ et non $\left(x+\dfrac{74}{320}\right)^2$...
2. Lorsque j'étais Lycéen on apprenait aussi (c'est fini maintenant ), on savait aussi calculer le discriminant réduit $\Delta'$
    Il suffisait de remarquer que si b était était pair alors b =2b'  et :
   $\Delta=b^2-4ac=(2b')^2-4ac=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac)$ et on notait $\Delta'=b'^2-ac$
   Ici $74=2 \times 37$  d'où $\Delta'=37^2+160\times 4=1369+480=1849$...
   Bien sûr, l'écriture du calcul en était modifiée :
   Puisque $\Delta=4\Delta'^2$  alors $\sqrt {\Delta}=2\sqrt{\Delta'}$
   D'où :
   $x_1,x_2=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'\pm2\sqrt{\Delta'}}{2a}=\dfrac{2(-b'\pm\sqrt{\Delta'})}{2a}=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$

@+


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#5 20-09-2019 07:12:52

Nelcar
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Re : résoudre les équations dans R

Bonjour
merci d'abord de ta réponse
moi pour le f) j'ai comme toi au numérateur mais au dénominateur j'ai -8 (2xa qui est -4 )
pour le g) je n'ai pas comme toi mais je retrouve bien -1/2 et 3/80 moi j'ai en discriminent (-74)²-4x(-160)x3=7396 soit la racine de 7396 donne 86

Peux-tu me décomposer un peu plus la forme canonique que tu as mis car je n'y arrive pas.
Merci encore.

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#6 20-09-2019 09:23:23

yoshi
Modo Ferox
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Re : résoudre les équations dans R

Re,

pour le g) je n'ai pas comme toi mais je retrouve bien -1/2 et 3/80 moi j'ai en discriminent (-74)²-4x(-160)x3=7396

Donc, si tu poses la "question" c'est que tu n'as lu ma réponse qu'en diagonale, parce que la réponse y figure...
Moi, j'ai pour habitude de simplifier mes fractions  (moins les nombres sont grands, mieux je me porte), ma fraction a été simplifiée par 2, donc ton discriminant es 4 plus gros que celui que j'obtiendrais en utilisant ce qu'on appelait il y a longtemps discriminant réduit voir mon post).
A partir de l'équation donnée :
74 =37 x 2 donc au lieu d'utiliser b =-74, j'utilise b' = -37 et je calcule :
$\Delta'=b'^2-ac=(-37)^2-(-160)\times 3 =1369+480=1849=43^2$
Qui me donne les solutions :
$x_1,x_2=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}=\dfrac{37\pm43}{-160}$

Forme canonique
N_B : $25600=160^2$

$-160x^2-74x+3=-160\left(x^2+\dfrac{74}{160} x-\dfrac{3}{160}\right)$

$x^2+\dfrac{74}{160} x= ?$ il faut prendre : $\left(x+\dfrac 1 2\times \dfrac{74}{160}\right)^2-\cdots$
MAIS je vois que :
$\dfrac 1 2\times \dfrac{74}{160}=\dfrac{37}{160}$
Au leu de multiplier "bêtement" :
$\dfrac 1 2\times \dfrac{74}{160}=\dfrac{74}{320}$ au risque d'oublier de simplifier après, je simplifie tout de suite et je divise le numérateur par 2 : $\dfrac 1 2\times \dfrac{74}{160}=\dfrac{37}{160}$
Donc au lieu d'écrire que
$\left(x^2+\dfrac{74}{160}\right)=\left(x+\dfrac{74}{320}\right)^2-\left(\dfrac{74}{320}\right)^2$
j'écris :
$\left(x^2+\dfrac{74}{160}\right)=\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\left(\dfrac{37}{160}\right)^2$

Ce qui me permet d'écrire :
$-160x^2-74x+3=-160\left(x^2+\dfrac{74}{160} x-\dfrac{3}{160}\right)=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\left(\dfrac{37}{160}\right)^2-\dfrac{3\times 160}{160\times 160}\right]$

$-160x^2-74x+3=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\dfrac{1369}{25600}-\dfrac{480}{25600}\right]=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\dfrac{1369+480}{25600}\right]$

$-160x^2-74x+3=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\dfrac{1849}{25600}\right]=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\left(\dfrac{43}{160}\right)^2\right]$

$-160x^2-74x+3=-160\left[\left(x+\dfrac{37}{160}\right)^2-\left(\dfrac{43}{160}\right)^2\right]=-160\left(x+\dfrac{37}{160}+\dfrac{43}{160}\right)\left(x+\dfrac{37}{160}-\dfrac{43}{160}\right)$


$-160x^2-74x+3=-160\left(x+\dfrac{37}{160}+\dfrac{43}{160}\right)\left(x+\dfrac{37}{160}-\dfrac{43}{160}\right)=-160\left(x+\dfrac{80}{160}\right)\left(x-\dfrac{6}{160}\right)=\cdots$

Ca te va, cette fois ?

@+


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#7 21-09-2019 11:49:16

Nelcar
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Messages : 92

Re : résoudre les équations dans R

Bonjour,
merci pour ta réponse mais je ne fais pas avec le discriminent réduit, c'est déjà compliqué comme cela.
Merci encore
Bon week-end

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