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#1 16-09-2019 16:25:19

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 93

fonction trigo et les suites

Bonjour
Voici un exercice dans un livre première générale spécialité maths (nouveaux programme)

1°)
a) En étudiant les variations de f: f(x)=sin(x) - x montrer que pour tout x dans IR+, sin(x)<= x
b)Même technique pour montrer que pour tout x dans IR+, 1-x²/2 <= cos(x) <=1, puis que
  x-(x^3)/6 <= sin(x) <= x.

2°)
On définit deux suites (Un et Vn ) n>=1, par:
Un=sin(1/n²) + sin(2/n²)+...+sin(n/n²) et Vn=1/n² + 2/n² + ... +n/n²
a) Donner une expression synthétique de Vn
b)Montrer que 1^3 + 2^3 + ... + n^3 <= n^4
c) déduire des questions précédentes que abs(Un-Vn) <= 1/(6n²)

Pour 1°) aucun problème ! L'étude des trois fonctions est simple.

Pour le les 2°) a) et b) aucun problème ! Vn=1/n²(1+2+3+..+n)=(n+1)/(2n)

Pour 2°) c) je ne vois pas du tout !

Merci pour des réponses.

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#2 16-09-2019 19:39:41

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : fonction trigo et les suites

Bonsoir,

Dans un premier temps tu peux remarquer que : $x \leq x + \frac{x^{3}}{6} $.
Donc, $x - \frac{x^{3}}{6} \leq sin(x) \leq x + \frac{x^{3}}{6}$ ce qui peut aussi s'écrire :
$ - \frac{x^{3}}{6} \leq sin(x) - x \leq \frac{x^{3}}{6}$.
Petit rappel : $|x|\leq r \iff -r \leq x \leq r$.
Et après avoir sommé tu utilises une des questions que tu n'as pas encore utilisé ;)

Cordialement

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#3 16-09-2019 21:12:58

LCTD
Invité

Re : fonction trigo et les suites

Bonjour,

J'ai peut-être une idée. je propose d'écrire:
(1/n^2) -(1/n^2)^3/6 <= sin(1/n^2) <= 1/n
(2/n^2) -(2/n^2)^3/6 <= sin(2/n^2) <= 2/n
........................................................
(n/n^2) -(2/n^2)^3/6 <= sin(n/n^2) <= n/n
+                                                    fait l'addition
_________________________________
     Vn    - (1/n^4)/6     <=    Un   <= Vn    résultat

ensuite je retranche Vn dans chaque membre, j'obtiens
- (1/n^4)/6     <= Un-Vn <=0 soit 0 <= Vn-Un <=  (1/n^4)/6

comme (1/n^4) < (1/n^2) , Vn-Un <=  (1/n^2)/6

(1/n^2)/6 est un nombre positif, abs(Vn -Un)= abs(Un-Vn)

J'espère que je t'ai mis sur une piste. Au moins j'ai essayé.

#4 17-09-2019 21:31:36

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : fonction trigo et les suites

Bonsoir,

@LCTD, comment obtiens tu le résultat suivant : $\sum_{k=1}^{n} (\frac{k}{n^{2}})^{3}.\frac{1}{6} = \frac{1}{6.n^{4}}$ ?

Je poursuis donc un peu la résolution (je vais essayer de ne pas donner tous les éléments de résolutions parce que l'objectif n'est quand même pas de faire tout le travail pour les autres ^^) :
D'après le poste #2 tu as : $-\frac{x^{3}}{6} \leq sin(x)-x \leq \frac{x^{3}}{6}$
Et en faisant la somme des inégalités tu as donc :
$-\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{6.n^{2.3}} \leq \sum_{k=1}^{n} sin(\frac{k}{n^{2}})-\frac{k}{n^{2}} \leq \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{6.n^{2.3}}$
Et à partir de ce moment là tu passes en valeur absolue en utilisant l'équivalence que j'ai donné avant, et pour après... Je te laisse deviner !

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#5 18-09-2019 21:14:59

LCTD
Invité

Re : fonction trigo et les suites

Bonjour,

@Maenwe : le résultat est vrai pour k=1 et pour la série [ tex]\sum {n=1}^\n \frac{1}{n^3}[ /tex], question b)
je ne comprends pas les bornes [tex]\sum [/tex] que tu as mis, si les bornes sont \sum {n=1}^\n, alors k est une constante et on peut  sortir k de la [tex]\sum [/tex] et le résultat est multiplié par k. J'espère ne pas me tromper et demande ton indulgence dans le cas contraire.

#6 19-09-2019 12:33:44

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : fonction trigo et les suites

Bonjour,

Ne t'en fais pas, il n'y a aucun sous entendu dans ce que j'écris :)
J'ai peut-être fais une erreur (ce qui est tout a fait possible ! Le tout est que je sache où), mais je ne comprends pas les formules que tu as écris, pourrais tu les réécrire avec le bon code latex ? (Pour être sûr que la formule que tu as tapé est la bonne et s'affiche correctement, clique sur "prévisualisation" et tu verras ton message sans qu'il soit publié pour autant, te permettant ainsi de te corriger).


En ce qui concerne la question b), je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu ne comprends pas (bien que j'en ai une idée) ou mon erreur, et si je réécris "mes" formules comme ça :
$-\sum \limits_{k=0}^n \frac{k^{3}}{6.n^{2.3}} \leq \sum \limits_{k=0}^n (sin(\frac{k}{n^{2}})-\frac{k}{n^{2}}) \leq \sum \limits_{k=0}^n \frac{k^{3}}{6.n^{2.3}}$ ?
Peut-être que ce qui te perturbe c'est la façon dont est affiché le signe somme, qui revient au même de ce que je viens décrire ci-dessus :
$\sum \limits_{k=0}^n = \sum_{k=0}^{n}$. Si ce n'est pas ça, n'hésite pas à demander.

Dernière modification par Maenwe (19-09-2019 12:34:23)

Hors ligne

#7 20-09-2019 11:27:45

LCTD
Invité

Re : fonction trigo et les suites

@Maenwe : le résultat est vrai pour k=1 et pour la série [tex]\sum_{n=1}^n \frac{1}{n^3} [/tex], question b)
je ne comprends pas les bornes du signe somme ∑ que tu as mis, si les bornes sont [tex] \sum_{n=1}^n [/tex], alors [tex]k^3[/tex] est une constante et on peut  sortir [tex]k^3[/tex]  de la ∑ et le résultat est multiplié par [tex]k^3[/tex].

#8 20-09-2019 15:04:43

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : fonction trigo et les suites

Bonjour,

LCTD a écrit :

@Maenwe : le résultat est vrai pour k=1 et pour la série [tex]\sum_{n=1}^n \frac{1}{n^3} [/tex], question b)

Pour le coup c'est moi qui n'est pas d'accord avec ce que tu écris, $\sum_{n=1}^n \frac{1}{n^3}$ n'a pas de sens parce que la variable n que tu utilises pour faire la somme est soit "caché", soit ne l'est pas : ce que je veux dire par là c'est que aux bornes tu ne dois pas avoir ta variable d'itération sinon tu n'as pas moyen de définir correctement ta somme. Une somme est définie par récurrence ainsi :
$\sum_{k=1}^{n+1} u_{k} = u_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} u_{k} (= u_{n+1} + ... + u_{1})$  et $\sum_{k=1}^{1} u_{k} = u_{1}$ avec $(u_{n})$ une suite quelconque). Et du coup je ne vois pas comment tu définis $\sum_{n=1}^n \frac{1}{n^3}$ ?

Mais à part ça j'ai compris ce que tu as fais, ce n'est pas une égalité mais une inégalité. Tu as simplement renversé l'inégalité montrée en question b). C'est plus claire, Merci !

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#9 20-09-2019 17:54:09

LCTD
Invité

Re : fonction trigo et les suites

Bonjour,

c'est exacte.

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