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#1 15-09-2019 17:59:41

balzac
Membre
Inscription : 31-08-2019
Messages : 3

(Z/nZ)(p)

Bonjour,
si on note (Z/nZ)(p)={x dans Z/nZ tel qu il existe n tel que (p^n)(x)=0} la composante p-primaire de Z/nZ, comment faire pour déterminer (Z/nZ)(p)?

Je suis sensé trouver que (Z/nZ)(p)=Z/p^kZ avec k la valuation p-adique de p dans la décomposition en éléments premiers de n... mais je ne vois pas comment

Merci d'avance

balz

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#2 15-09-2019 19:27:36

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : (Z/nZ)(p)

Bonsoir,

Vos notations sont étranges notamment dans la définition de (Z/nZ)(p), car vous ecrivez : "x dans Z/nZ tel qu il existe n tel que (p^n)(x)=0", si n n'est pas une "variable interne à la définition de (Z/nZ)(p)" dans ce cas le "il existe n" n'a rien à faire là , et si c'est le cas il y a aussi un problème. Ne vouliez vous pas dire ceci :
$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})(p)=\{x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} | \exists k \in \mathbb{Z}, p^{k}.x=0\}$. ?

Autre chose, c'est qui p ? Et n ?

Cordialement

Dernière modification par Maenwe (15-09-2019 19:46:04)

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#3 20-09-2019 11:38:42

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : (Z/nZ)(p)

Bonjour,
J'ai finalement compris ce que tu voulais dire ^^
Donc je suppose que p est un nombre premier divisant n et n est strictement supérieur à 1.
On note $v$ la valutation p-adique de p dans n et b un entier tel que $n=p^{v}.b$
On a alors $(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))(p)=\{p^{k}.b [n] |k\in[|0,v|]\}$.
On a de plus que $(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))(p)$ est un groupe additif.

### Note : ce que j'ai écris avant est faux, on a pas $(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))(p)=\{p^{k}.b [n] |k\in[|0,v|]\}$, mais on a bien : $(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))(p)$ est un groupe additif (et même un sous groupe additif de $\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z})$). Je corrige donc, mais je dois avouer que je suis plutôt déçu du résultat que j'ai trouvé, il n'est pas très élégant :
$(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))(p)=\{Cl_{n}(p^{k}.a) |k\in[|0,v|], a\in b\mathbb{Z}^{*}, pgcd(a,p)=1\}$
Avec $Cl_{n}$ la projection canonique de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z})$.

### Note 2 : J'ai trouvé une représentation de $(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z})(p)$ un peu plus élégante, c'est en fait l'ensemble des éléments de $\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z})$ dont l'ordre est une puissance de p.

### Note 3 : Encore mieux : $(\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z}))(p)= <Cl_{n}(b)>$.

Dernière modification par Maenwe (23-09-2019 15:20:42)

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