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#1 20-09-2019 07:28:22

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 9

Nombres constructibles (règle et compas)

Bonjour à tous,

J'ai fait une activité sur la quadrature du cercle.
Et du coup je me pose quelques questions. Je souhaiterais notamment savoir pourquoi pi est un nombre non constructible et quel est le moyen de savoir si un nombre est constructible ou non ?

(Pourquoi pi n'est pas constructible à la regle et au compas ? Car si nous construisons un cercle de diamètre 1, nous avons construit pi ?)

Merci pour vos retours!

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#2 20-09-2019 09:02:43

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 148

Re : Nombres constructibles (règle et compas)

Bonjour,

Ce n'est pas une question évidente ! Elle a résisté très longtemps aux mathématiciens ^^
Pour répondre à ta première question de manière un peu formel, il a été montré qu'un  nombre n'est constructible que s'il est racine d'un polynôme à coefficient dans les entiers rationnels (on appelle ces nombres, des nombres algébriques, $\sqrt{2}$ en est un car $\sqrt{2}^{2}-2=0$ donc $\sqrt{2}$ est racine du polynôme $P(x) = x^{2}-2$).

NB : Quand je dis "polynôme à coefficients dans les entiers rationnels" ça veut dire ceci :
Un polynôme P est à coefficient rationnels si et seulement si il existe des rationnels $a_{i}$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$
$P(x) = a_{0} + a_{1}.x + ... + a_{n}.x^{n}$.

Or il s'avère que $\pi$ n'est pas un nombre algébrique ! Donc $\pi$ n'est pas constructible.

Et pour tes questions suivantes, eh bien la confusion vient du fait que (je pense) on ne t'a pas définit correctement ce qu'était un nombre constructible : un nombre $N$ est dit constructible s'il existe un point $P$ constructible tel que l'abscisse de $P$ soit $N$.
Et qu'est ce qu'un point constructible ?
C'est un peu plus compliqué à expliquer mais pas très compliqué à comprendre, du coup je te renvoie sur cette page qui l'illustre visuellement plutôt bien : Points constructibles, homeomath
Si tu veux plus de précision sur la définition formelle des points constructibles n'hésite pas !

Dernière modification par Maenwe (20-09-2019 15:17:16)

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