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#1 16-09-2019 19:16:29

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Dérivée d'une fonction composée

Bonjour
je suis un peu perdue sur un calcul et j'espère votre aide.
Si on considère la fonction $v(\tau,z)$ où $\tau = \tau(t)$ et $z=\alpha(t) x + c(t)$.
Comment calculer $\partial_x(\partial_z v^2)(\tau,z)$?

Il est clair que $\partial_z v^2(\tau,z)= 2 v \partial_z(\tau,z)$, mais qu'en est-il de  $\partial_x(\partial_z v^2)(\tau,z)$?

Je sais qu'il y a une formule simple à appliquer mais je n'arrive pas à la retrouver.

Bien cordialement

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#2 16-09-2019 20:55:39

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 367

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonsoir,
est ce que la formule que tu cherches ne serait pas :[tex]\partial_z(ab)=\partial_z(a)b+a\partial_z(b)[/tex] où ab correspond à ta fonction produit : [tex](2v) \partial_z(\tau,z)[/tex]

Dernière modification par Zebulor (16-09-2019 21:05:39)

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#3 16-09-2019 21:42:35

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Re : Dérivée d'une fonction composée

C'est ok, merci.
Autre question, est-ce que ce qui suit est correct :
$$ \partial_x (\partial_z v^2)= 2 \partial_x (v. \partial_z v)= 2(\partial_x v)(\partial_z v)+ v. \partial_x(\partial_z v)
= 2 \alpha((\partial_z v)^2 + 2 v \partial^2_z v)\quad ?
$$ Est-ce qu'on peut la simplifier encore plus ?

Bien cordialement

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#4 17-09-2019 05:18:08

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 367

Re : Dérivée d'une fonction composée

rebonjour,
autant pour moi j'ai mal lu ton post #1 et confondu le [tex]z[/tex] avec le [tex]x[/tex] ...

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#5 17-09-2019 06:42:26

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Re : Dérivée d'une fonction composée

Zbulor et pour mon calcul du post 3 il est correct? Stp

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#6 17-09-2019 06:52:31

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 367

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonjour,
je crois que tu as oublié le facteur 2 dans la deuxième égalité..
$ \partial_x (\partial_z v^2)= 2 \partial_x (v. \partial_z v)= 2(\partial_x v)(\partial_z v)+ 2v. \partial_x(\partial_z v) $
Et pour la troisième égalité je ne sais pas ! Et une chose me gêne - mais est ce rédhibitoire ? - on ne connaît pas l'expression explicite de [tex]v(r,z)[/tex]

Dernière modification par Zebulor (17-09-2019 07:01:37)

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#7 17-09-2019 20:58:11

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonjour
est ce qu'on a l'égalité suivante:
$$
\partial^3_z v=(\partial_z v)(\partial_z^2 v)
$$
?

Bien cordialement

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#8 18-09-2019 09:27:34

Ziguelahi.oula19inphb.ci
Membre
Inscription : 18-09-2019
Messages : 2

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonjour je pense que c’est bien ta réponse mais pas totalement rassurer

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#9 18-09-2019 12:24:21

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 727

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonjour,

Avant de poster une question sur le forum (surtout dans la rubrique "supérieur"), il faut a minima réfléchir :

La question est : est ce que l'égalité suivante est vraie "$\partial_z^3 v = (\partial_z v)(\partial_z^2 v)$" ?

La première des choses est de regarder sur des exemples de fonctions $v$ assez simples...

Est ce que tu as essayé avec, par exemple $v(z) = z^2$ ?

Quelle est ta conclusion ?

Roro.

Dernière modification par Roro (18-09-2019 12:24:41)

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#10 18-09-2019 13:04:43

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonjour
vous avez raison Roro, je m'excuse. Mais ça me rend bête tellement je ne trouve pas comment on peut passer de l'écriture
$$
a(t) \alpha^2(t) \dfrac{v \partial^3_z v}{v^2}
- a(t) \alpha^2(t) \dfrac{\partial^3_z v}{v^2}
+ 2 a(t) \alpha^2(t) \dfrac{(\partial^2_z v)(\partial_z v)}{v^2}
- 2 a(t) \alpha^2(t) \dfrac{(\partial_z v)^3}{v^3}
$$
à l'écriture
$$
a\alpha^2\dfrac{v\partial^3_z v-3\partial_z v\partial^2_z v}{v^2}+2a\alpha^2\dfrac{(\partial_z v)^3}{v^3}.
$$
?
C'est possible de passer de l'une à l'autre?  Sinon il y a un moyen de simplifier la première écriture?

Bien cordialement

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#11 18-09-2019 17:29:09

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 727

Re : Dérivée d'une fonction composée

Bonsoir,

Même remarque que précédemment : as-tu essayé avec un exemple "simple" comme $a=\alpha=1$ et $v(z)=z^2$ pour vérifier si l'égalité pourrait être juste ?

Sinon, pour simplifier l'écriture, ça dépend ce que tu veux en faire. Par exemple, il est à peu près évident que tu peux factoriser par $a\alpha^2$... ensuite tu peux peut être essayer de reconnaitre des dérivées de produit ou de quotient !

Roro.

Dernière modification par Roro (18-09-2019 17:29:41)

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#12 18-09-2019 17:57:29

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 110

Re : Dérivée d'une fonction composée

Oui j'essaye de reconnaître des dérivées de quotient ou de produit mais je n'y arrive pas. Pouvez vous me dire si vous en voyez? Svp

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#13 18-09-2019 18:31:05

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 727

Re : Dérivée d'une fonction composée

Non, je ne peux pas t'aider car je ne vois pas de chose qui simplifie vraiment. Tu peux à la rigueur remarquer que
$$\Big(\big( \frac{v'}{v} \big)^2 \Big)'$$ ressemble aux deux derniers termes...
Encore une fois, ça dépend de ce que tu veux en faire !!!

Roro.

Dernière modification par Roro (18-09-2019 18:31:19)

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