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#1 13-09-2019 23:44:28

Simo20
Membre
Inscription : 13-09-2019
Messages : 2

Famille génératrice d'un groupe

Bonjour les gars,
Je me demande si pour un G groupe abelien généré par une famille (x1,...,xr) minimale , si l'écriture d'un élément x de G par cette famille serait unique.

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#2 15-09-2019 20:22:48

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : Famille génératrice d'un groupe

Bonsoir,

Le résultat est faux si l'on se place dans le cas d'un groupe G abélien fini (qui est donc nécessairement de type fini), car les ordres de tous les éléments de G sont finis, donc pour $x \in G$ si on note n son ordre, alors pour tout entier k on a : $x^{n+k} = x^{k}$ et pourtant on aura pas forcément $n+k=k$, et tu fais la mêmes choses avec tous les éléments d'une famille génératrice de G et verras que la décomposition n'est pas unique.

Et même si on rajoute l'hypothèse de "modulo l'ordre" ça ne marchera pas non plus en prenant le cas du groupe des permutations de $\{1, ...,n\}$, en effet, toute permutation peut se décomposer en une composition de transpositions (échange de 2 éléments) mais qui n'est pas nécessairement unique si l'on ne se donne pas de conditions : (2 4 1) = (2 4)(2 1) = (4 1)(4 2) et pour toute transposition $\tau_{i,j}=(i \hspace{2mm} j)$ on a :
$\tau_{i,j}^{2} = Id$
Cordialement

Dernière modification par Maenwe (15-09-2019 20:46:01)

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#3 15-09-2019 21:56:38

Simo20
Membre
Inscription : 13-09-2019
Messages : 2

Re : Famille génératrice d'un groupe

Maenwe a écrit :

Bonsoir,

Le résultat est faux si l'on se place dans le cas d'un groupe G abélien fini (qui est donc nécessairement de type fini), car les ordres de tous les éléments de G sont finis, donc pour $x \in G$ si on note n son ordre, alors pour tout entier k on a : $x^{n+k} = x^{k}$ et pourtant on aura pas forcément $n+k=k$, et tu fais la mêmes choses avec tous les éléments d'une famille génératrice de G et verras que la décomposition n'est pas unique.

Et même si on rajoute l'hypothèse de "modulo l'ordre" ça ne marchera pas non plus en prenant le cas du groupe des permutations de $\{1, ...,n\}$, en effet, toute permutation peut se décomposer en une composition de transpositions (échange de 2 éléments) mais qui n'est pas nécessairement unique si l'on ne se donne pas de conditions : (2 4 1) = (2 4)(2 1) = (4 1)(4 2) et pour toute transposition $\tau_{i,j}=(i \hspace{2mm} j)$ on a :
$\tau_{i,j}^{2} = Id$
Cordialement

le groupe des permutation n'est pas abelien....(j'ai oublié de rajouter la condition de l'ordre )

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#4 15-09-2019 22:07:05

Maenwe
Membre
Inscription : 06-09-2019
Messages : 79

Re : Famille génératrice d'un groupe

Autant pour moi, désolé pour l'erreur d’inattention...

Et à défaut de donner une vrai réponse... Je propose une piste pour éviter de se farcir tous les cas :
On peut se réduire à l'étude de savoir si on a unicité d'écriture de l'élément neutre dans cette famille génératrice.
Autrement dit on cherche les $n_{i}$ tels que $x_{1}^{n_{1}}...x_{r}^{n_{r}}=e$ et on veut montrer qu'ils sont tous égaux à 0. Et on peut de plus remarquer que tous les $n_{i}$ sont différents de 1 ou -1 car sinon cela contredit le fait que la famille est minimale.

Dernière modification par Maenwe (15-09-2019 22:19:28)

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