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#1 27-08-2019 21:45:10

Bonjour
Invité

Nombre premiers et divisibilité

Bonjour,

J'aimerais savoir comment prouver cela :

si on divise un nombre premier par 30, alors le reste de la division est soit 1, soit un nombre premier.


Et est ce que l'on a le même résultat pour 60 et 90 ??




Merci beaucoup :)

#2 27-08-2019 22:56:48

dubeau
Invité

Re : Nombre premiers et divisibilité

bonsoir,
Utilisez le crible d'Ératosthène de 0 à 30, puisque les restes sont inférieurs à 30

#3 28-08-2019 07:22:44

Bonjour
Invité

Re : Nombre premiers et divisibilité

Je veux pas trouver les nombres premiers entre $0$ et $n$
Je veux preuve pour :
$p,q$ premier, $p\equiv[30]$ OU $p\equiv1[30]$

#4 28-08-2019 08:08:06

Matou
Invité

Re : Nombre premiers et divisibilité

Bonjour,

Soir p un entier. On peut l'écrire p = 30k + i
On a alors [tex]p\equiv i[30][/tex].
Supposons p premier.
i ne peut être pair, sinon 30k+i serait divisible par 2.
i ne peut être divisible par 3, sinon 30k+i serait divisible par 3.
i ne peut être divisible par 5, sinon 30k+i serait divisible par 5.

Par conséquent, i est égal à 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ou 29.
Voilà qui établit ta première proposition.

Par contre 49 divisé par 60 ou 90 donne un quotient de 0 et un reste de 49. Donc, on n'a pas le même résultat pour 60 ou 90.

Matou.

PS. On pourrait chercher des entiers premiers de la forme 60k + 49 ou de la forme 90k + 49 pour établir ta deuxième proposition. J Par exemple, 349 divisé par 60 donne un reste de 49. C'est un peu plus joli comme ça

#5 28-08-2019 09:01:38

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 639

Re : Nombre premiers et divisibilité

Bonjour Bonjour,

Je veux ?????
Mon père avait coutume de dire :
<< Même le Roi ne disait pas Je veux, mais Nous voulons...
Tout ça pour e signaler que ton "je veux" n'est pas de mise, tu aurais pu dire "j'aimerais".

$p,q$ premier, $p\equiv[30]$ OU $p\equiv1[30]$

Ça, c'est de la bouillie pour les chats :
*  que sont p et q ?
* $p \equiv[30]$ n'a pas de sens $\equiv$ c'est "congru"
   - si c'est p congru à 30, il manque le modulo et 30 n'a pas de crochets...
   - [30] avec crochets c'est le modulo donc il manque ce à quoi p est congru --> $p\equiv q\;\; [30]$ ? alors j'en reviens à ma première question...

Je préfère la version du post #1
Soit p un nombre premier et q son reste dans la division par 30.
On a donc obligatoirement $q\in\{1, 7, 11, 13 ,17, 19, 23, 29\}$ et non q premier tout court.
Parce que tout nombre premier > 30 s'écrit p= 30d+q  avec [tex]d \in \mathbb{N^*}[/tex] et $q\neq 2;\;q\neq 3, \;q \neq 5$
Si tu prends q = 2, 3 ou 5, p se factorise par 2, 3 ou 5 et n'est donc pas premier....
Je vais noter $Q=\{1, 7, 11, 13 ,17, 19, 23, 29\}$

1. Si p<30 alors $p \equiv p\;\; [30]$ si p>30, alors p<60 et p<90, donc le reste de la division par 60 et 90 ne change pas, c'est p premier...
2. Si 30<p<60  et modulo = 60 je te laisse compléter
3. Si 60<p<90 et modulo = 90 je te laisse compléter
4. Si p>90
On a donc $p \equiv q\;\; [30]$ où $q \in Q$.
q<30 évident  propriété du reste d'une division euclidienne et $q \in Q$

Je pars donc  de p premier >90
[tex]p\equiv q_1 \mod 60[/tex] avec  $p=60d+q_1$ 60 est multiple de 2, 3 et 5, mais il existe un non multiple de 2, 3 ou 5 inférieur à 60 et qui n'est pas premier : $7^2=49$
Ta propriété est donc fausse [60] à cause du reste 49... Voilà les 4 premiers nombres p premiers $\equiv 49\;\;[60]$ :  109, 229, 349, 409

[tex]p\equiv q_2 \mod 90[/tex] avec  $p=90d+q_2$
q2 n'est pas toujours premier, il y a 2 contre-exemples non multiples de 2, 3 ou 5 : $7^2=49$ et $7\times 11=77$
Propriété fausse aussi.
Dans les 200 premiers nombres p premiers :
$p \equiv 49\;\;[90]$ ou $p \equiv 77\;\;[90]$ !
[139, 167, 229, 257, 347, 409, 499, 617, 769, 797, 859, 887, 977, 1039, 1129]

(Fait évidemment via Python)

@+

[EDIT] Grillé par Matou, mais on est d'accord !...

Dernière modification par yoshi (28-08-2019 09:03:08)


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#6 28-08-2019 10:14:25

Bonjour
Invité

Re : Nombre premiers et divisibilité

Oui pardon c'est la première fois que je demande de l'aide sur un forum ....

Merci beaucoup :)

#7 13-09-2019 23:31:35

ishoulita
Membre
Inscription : 02-09-2019
Messages : 13

Re : Nombre premiers et divisibilité

dubeau a écrit :

bonsoir,
Utilisez le crible d'Ératosthène de 0 à 30  filezilla, puisque les restes sont inférieurs à 30

si on divise un nombre premier pa  uc browserr 30, alors le reste de la division est soit rufus 1, soit un nombre premier.

Dernière modification par ishoulita (14-09-2019 21:08:32)

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#8 14-09-2019 04:30:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 639

Re : Nombre premiers et divisibilité

Bonjour;


@Ishoulita
Même toi, tu n'es pas dispensé de saluer...
Ton blablabla ne sert à rien.
Heureusement que Bonjour ne  comptait pas sur toi pour l'aider : il avait eu amples explications et pas seulement une ligne de redite, totalement inutile. De plus, maintenant il est passé à autre chose.
Heureusement pour lui !
Mais si tu cherches  bien, il doit y avoir des posts vieux de 10 ans et qui n'ont pas reçu de réponses !
Tu aurais de quoi étancher ta soif de réponses à l'emporte-pièce...
Et il serait préférable que tu montres que tu as quelque chose d'utile à dire !

@+

Dernière modification par yoshi (14-09-2019 09:43:45)


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#9 14-09-2019 11:22:32

cosinuspax
Membre
Inscription : 23-02-2019
Messages : 247

Re : Nombre premiers et divisibilité

Il n'existe à ce jour aucun algorithme simple ne donnant que des nombres premiers à l'infini. Si c'était le cas, ce ne serait plus drôle.

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