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#1 07-09-2019 14:24:36

Sawa
Invité

Derivation

Bonjour, je ne sais pas du tout comment il faut procéder pour mener à bien cette question.

M. Topez et Mme. Topez décident de se rendre à pied sur le tombeau de leur fils. Ce pèlerinage dure plusieurs jours et ils ne veulent pas s'enccombrer d'une tente. Ils portent donc seulement une bâche de 3 mètres de coté et décident de construire chaque jour leur tente.
Sachant que leur abris a la forme d'un prisme ouvert de bas un triangle isocèle et que les bords touchent le sol, aider M. et Mme Topez à obtenir une construction de volume maximal.

Aide : Pour résoudre ce problème vous aurez besoin de la dérivation suivante : Soit U une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors

(racine carré U )'  =  U' / 2 racine carré U

Sachant que le dénominateur comprend aussi bien le 2 que le racine carré de U

#2 07-09-2019 15:57:49

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 785

Re : Derivation

Bonjour,

Trois questions :
1. Par "une bâche de 3 mètres de coté", je présume que tu veux dire : "une bâche carrée de 3 m de côté" ?
2. Que veut dire "un prisme ouvert de bas" ?
3. La bâche est-elle pliée en 2 ou en 3 pour former un prisme ayant pour base un triangle isocèle ?
   >>  Si on plie le bâche en 3, on a donc un abri à deux pans et un 3e pan sert de tapis de sol (BC est un morceau de bâche replié sur le sol):
         dans ce cas, AB+BC+CA = 3 m et les calculs sont assez importants


                    A  
                   /\
                  /  \
                 /    \
               B/      \C
 

    >> Si on plie la bâche en 2, on a donc un abri à deux pans, AB = AC = 3 m et M. et Mme Topez dorment sur l'herbe...
         Dans ce cas, le prisme a une hauteur de 3 m fixe (en utilisation, la hauteur du prisme sera la longueur de la tente...
        Le volume  ne dépendra alors pas de la hauteur du prisme (fixe 3 m) mais seulement de l'aire de base donc de l'aire du triangle isocèle :
        AH étant la hauteur du triangle isocèle, son aire vaut (AH * BC)/2.
        On pose $x=BC/2$
       Il te reste à obtenir la hauyeur [AH] du triangle en fonction de $x$ et de AB=1.5, de calculer l'aire du triangle et de chercher si la fonction A(x)  représentant les variations de x en fonction de l'aire, passe par un maximum et lequel...

@+


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#3 07-09-2019 23:50:47

Sawa
Invité

Re : Derivation

yoshi a écrit :

Bonjour,

Trois questions :
1. Par "une bâche de 3 mètres de coté", je présume que tu veux dire : "une bâche carrée de 3 m de côté" ?
2. Que veut dire "un prisme ouvert de bas" ?
3. La bâche est-elle pliée en 2 ou en 3 pour former un prisme ayant pour base un triangle isocèle ?
   >>  Si on plie le bâche en 3, on a donc un abri à deux pans et un 3e pan sert de tapis de sol (BC est un morceau de bâche replié sur le sol):
         dans ce cas, AB+BC+CA = 3 m et les calculs sont assez importants


                    A  
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    >> Si on plie la bâche en 2, on a donc un abri à deux pans, AB = AC = 3 m et M. et Mme Topez dorment sur l'herbe...
         Dans ce cas, le prisme a une hauteur de 3 m fixe (en utilisation, la hauteur du prisme sera la longueur de la tente...
        Le volume  ne dépendra alors pas de la hauteur du prisme (fixe 3 m) mais seulement de l'aire de base donc de l'aire du triangle isocèle :
        AH étant la hauteur du triangle isocèle, son aire vaut (AH * BC)/2.
        On pose $x=BC/2$
       Il te reste à obtenir la hauyeur [AH] du triangle en fonction de $x$ et de AB=1.5, de calculer l'aire du triangle et de chercher si la fonction A(x)  représentant les variations de x en fonction de l'aire, passe par un maximum et lequel...

@+


En effet, la bache est carré et  je me suis trompée j'ai oubliée un e : Sachant que leur abri a la forme d'un prisme ouvert de base un triangle isocèle et que les bords touchent le sol... Et la bâche est pliée en deux

#4 08-09-2019 05:43:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 785

Re : Derivation

RE,

Ok !

Alors la marche à suivre est là :
         On a donc un abri à deux pans, AB = AC = 1,5 m et M. et Mme Topez dorment sur l'herbe...
         Dans ce cas, le prisme a une hauteur de 3 m fixe (en utilisation, la hauteur du prisme sera la longueur de la tente...
        Le volume  ne dépendra alors pas de la hauteur du prisme (fixe 3 m) mais seulement de l'aire de base donc de l'aire du triangle isocèle :
        AH étant la hauteur du triangle isocèle, son aire vaut (AH * BC)/2.
        On pose $x=BC/2$
       Il te reste à obtenir la hauteur [AH] du triangle en fonction de x et de AB=1.5, de calculer l'aire du triangle et de chercher si la fonction A(x)  représentant les variations de x en fonction de l'aire, passe par un maximum et lequel...


                    A  
                   /\
                  /  \
                 /    \
               B/      \C
                    H
 

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#5 11-09-2019 15:26:11

Sawa
Invité

Re : Derivation

J'ai calculé la hauteur H du triangle et j'ai obtenue racine carré de 9 - x² / 2
Est ce que c'est exact ou j'ai fait une erreur

#6 11-09-2019 16:27:25

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 785

Re : Derivation

Bonjour,

Rappel : j'ai noté $x=\dfrac{BC}{2}$
L'écriture de ta formule prête à confusion tu as probablement jeté la priorié des opérations par dessus les moulins...

Et  que soit ou non le cas, il y une petite erreur :
$h^2=\left(\dfrac 3 2\right)^2-x^2$
La somme des longueurs AB et AC des 2 côtés de la tente est égale au côé du carré, soit 3 m...
Et comme la tente est un triangle isocèle, alors AB = AC 3/3 = 1,5 (utiliser des virgules, ce n'est pas le top : mieux vaut travailler avec des fractions), donc $AH^2= AB^2- BH^2 =\left(\dfrac 3 2\right)^2-x^2$
On peut écrire alors
$h = \sqrt{\left(\dfrac 3 2\right)^2-x^2}=\sqrt{\dfrac 9 4-x^2}$
Moi, je n'aime pas les virgules
Je préfère passer par :
$h=\sqrt{\dfrac 9 4-x^2}=\sqrt{\dfrac 9 4-\dfrac{4x^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{9-4x^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{9-4x^2}}{\sqrt 4}$=$\dfrac{\sqrt{9-4x^2}}{2}$
Mais, toi, tu es libre de préférer $h =\sqrt{2,25-x^2}$
N-B :
   $2,25=1,5^2=\dfrac 9 4$

Maintenant, attention,
l'aire du triangle  c'est $\dfrac{BC \times AH}{2}$

qu'on peut aussi écrire :
$\dfrac{BC}{2}\times AH=x\times AH$

@+


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#7 11-09-2019 19:39:37

Sawa
Invité

Re : Derivation

Mon erreur était dès le départ, j'avais mis que AH² = AC² - HC²
Du coup j'avais calculée l'aire et je bloquais dans le tableau de variation maitenant je comprends enfin pourquoi, merci beaucoup

#8 11-09-2019 20:20:36

Sawa
Invité

Re : Derivation

En calculant l'aire ca me donne : x/4 racine carré 9- 4x²
Et pourtant quand je fais le calcul pour le tableau de variations et il ya une erreur lorsque je remplace x par un chiffre plus grand que 1. Et je ne vois pas ou est mon erreur

#9 12-09-2019 05:41:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 785

Re : Derivation

RE,


$Aire=f(x) =x\times \dfrac{\sqrt{9-4x^2}}{2}$. Pourquoi dénominateur 4 ? Relis ce que j'avais écrit après : Maintenant, attention,


Pour répondre à ta question, cette racine carrée n'est pas définie pour $x>\dfrac 3 2$
En effet, dans ce cas, la hauteur du triangle a une longueur supérieure à celle  des longueurs des côtés du triangle isocèle.
Le domaine de définition est donc donc $D_f =\left[0\,;\,\dfrac 3 2\right]$

Ton "chiffre" plus grand que 1 devait être en réalité supérieur à 1,5 : dans ce cas la quantité sous la racine est négative !!!

@+

Dernière modification par yoshi (14-09-2019 08:39:59)


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#10 09-10-2019 07:56:36

Pierre2
Invité

Re : Derivation

Bonjour,

Au lieu de prendre la hauteur issue de A, on peut prendre la hauteur issue de B. Le côté opposé est alors de longueur fixe, donc le maximum de la surface correspond au maximum de la hauteur. Le maximum est atteint quand le triangle est rectangle en A car l'hypothénuse est toujours plus grande que les côtés.

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