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#1 09-09-2019 12:21:57

yannD
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Courbe elliptique et courbe parabolique

Bonjour à toutes, à tous…

     Je vous remercie pour l'aide apportée sur le forum , notamment pour l'aide sur mes DM. Aussi j'allais poster ce sujet sur la section collège/ Lycée, comme je le fais habituellement, mais, ici, ma question ne porte pas sur une exercice à résoudre…
   
  Peut-Être avez vous le film diffusé hier soir sur France 2 ?

    Je sais ce que vous allez me répondre : << Tu ne devrais pas regarder la télévision si tard, sachant que tu as cours le lendemain !! >> )
Je regarde que très rarement la télévision en période scolaire, mais ce film relate l'histoire d'une brillante Mathématicienne qui intègre la section de Recherche de la NASA,

    Et si j'ouvre une discussion, c'est parce qu'il est question d'un calcul de Trajectoire , enfin plus exactement du calcule des coordonnées d'un amerrissage,
    En effet, le film se déroule en 1961, et le spationaute J. Glenn va effectuer 3 rotations autour de la Terre, la Trajectoire va décrire une courbe ELLiptique et lors de la retombée de l'engin Spatial, la courbe va avoir la forme d'une courbe Parabolique.
C'est ce que j'ai compris ... (je me trompe peut-être)
    Bon, disons que je sais déjà ce que sait qu'une courbe parabolique ( tête d'épingle)  parce que cela fait parti de mon programme de l'année dernière, mais s'agissant de la courbe Elliptique, je suis certain de n'en pas avoir entendu parlé……
   Pouvez vous me dire si cela figure au programme de Première ?
   Et quelle est l'équation d'une courbe Elliptique ?

Dernière modification par yannD (09-09-2019 12:33:54)

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#2 09-09-2019 12:33:26

freddy
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Salut,

selon mes souvenirs, les ellipses (un élément de la famille des coniques) étaient étudiées en classe de Terminale.
c'est l'ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=k^2$ avec a et b distincts et non nuls. Si $a=b$ alors on a l'équation d'un cercle de rayon $k$.
D'autres intervenants complèteront sûrement.


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#3 09-09-2019 12:41:31

yannD
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Bonjour, l'équation d'une parabole $y = ax^{2} + b . x +c $ , c'est la fonction qui associe à x , son carré, et c'est ce qui explique la forme d'une parabole, il suffit de faire le calcul avec 3, 4 valeurs …
Mais ici , pour l'équation $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = k^2$ , je vois pas trop, (je rappelle aussi que je suis un élève moyen;

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#4 09-09-2019 13:04:35

Maenwe
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Salut !

L'ellipse est décrit par cette équation : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = k^{2}$, ce qui veut dire quoi ?
Eh bien prenons un point $P= (x,y)$, et une ellipse de centre $C = (a,b)$ et de rayon $k$, alors P est un point de cette ellipse si et seulement si $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = k^{2}$.

Au passage, au lycée (ni en école préparatoire d'ailleurs !) on ne voit pas les coniques (à part peut être le cercle), et assez peu d'éléments de géométrie d'ailleurs.

Dernière modification par Maenwe (09-09-2019 13:08:10)

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#5 09-09-2019 13:23:11

yannD
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Bonjour Maenwe, une Ellipse a donc 2 centres , un cercle de centre $a$   e t  un cercle de centre $b$

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#6 09-09-2019 13:33:38

Maenwe
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Oh pardon ! J'ai fais une grosse erreur... (a,b) ne correspond pas au centre de l'ellipse, désolé c'est une grosse inattention de ma part.

D'ailleurs si je ne me trompe pas @freddy a fait une erreur, l'équation pour une ellipse est plutôt : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.
Et si $a=b$, on a bien l'équation d'un cercle,qui peut s'exprimer de cette manière aussi (et se comprend mieux ainsi) :
$x^{2}+y^{2}=a^{2} \iff \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ avec $a$ le rayon du cercle.
Pour l'équation du cercle je peux t'expliquer d'où elle vient (mais pas celle de l'ellipse malheureusement) :
Prend un cercle de centre $(0,0)$ de rayon $a$ et un point P = (x,y) .

Tout d'abord comment mesure t'on la distance entre un point du plan et $(0,0)$ ? (on note $OP$ cette distance)
En utilisant Pythagore ! En effet, le triangle (OXY) (où $O = (0,0)$, $X = (x,0)$ et $Y = (0,y)$) est rectangle en $X$, et on remarque qu'en fait la distance $d$ est l’hypoténuse de ce triangle, donc en appliquant le théorème de Pythagore tu as :
$OP=\sqrt{OX^{2}+OY^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ou, ce qui revient au même car nécessairement $OP$ est positif,
$OP^{2} = x^{2}+y^{2}$ .

Maintenant pour continuer il faut savoir ce qu'est un cercle. C'est l'ensemble des points (du plan) se trouvant tous à la même distance (distance appelé rayon) du centre. Donc le point P se trouve sur le cercle de centre $(0,0)$
et de rayon $a$ si et seulement si $OP = a$ autrement dit : $a^{2} = OP^{2} = x^{2}+y^{2}$.

Si il y a quelque chose que tu ne comprends pas, n'hésites pas à demander !

Dernière modification par Maenwe (09-09-2019 13:59:06)

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#7 09-09-2019 13:54:59

Zebulor
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Bonjour,
@Yann : une ellipse a deux foyers, et comme l'écrit Maenwe, le cercle est un cas particulier de l'ellipse où les deux foyers sont confondus en un point qui n'est autre que le centre du cercle...
A partir de 2 clous fixés et sol reliés par une ficelle assez longue tu peux tracer une ellipse... comme le font les jardiniers paraît il... en utilisant la propriété que si [tex]M[/tex] est un point quelconque de l'ellipse, [tex]F_1[/tex] et [tex]F_2[/tex] ses 2 foyers, alors [tex]MF_1+MF_2=2a[/tex]....tout un programme..
Au passage : pour le cercle [tex]F_1=F_2=F[/tex] donne bien [tex]MF=a[/tex] équation du cercle de centre F de rayon MF=a
C'était au programme de terminale C ou 1ere S d'après mes souvenirs au moins après 1985....

Dernière modification par Zebulor (09-09-2019 14:08:04)

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#8 09-09-2019 14:02:52

freddy
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Maenwe a écrit :

Salut !

L'ellipse est décrit par cette équation : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = k^{2}$, ce qui veut dire quoi ?
Eh bien prenons un point $P= (x,y)$, et une ellipse de centre $C = (a,b)$ et de rayon $k$, alors P est un point de cette ellipse si et seulement si $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = k^{2}$.

Au passage, au lycée (ni en école préparatoire d'ailleurs !) on ne voit pas les coniques (à part peut être le cercle), et assez peu d'éléments de géométrie d'ailleurs.

En effet, $k=1$ , j'avais oublié et suis allé trop vite.
En revanche, tu dois être bien jeune pour soutenir que les coniques n'étaient étudiées ni en terminale, ni en sup. Pour moi, il y a plus de 45 ans, c'était bien au pgm des classes terminale scientifiques.

Avant d'affirmer, écoute les anciens !

PS  : conique = ellipse, parabole ou hyperbole. L'aventure commence par l'équation générale $ax^2+by^2+cx+dy+e=0$

Dernière modification par freddy (09-09-2019 14:05:37)


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#9 09-09-2019 14:12:12

Maenwe
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

@freddy oui je suis bien jeune ^^ Je sors de prépa, et je suis en L3 de mathématiques, et je n'ai pas vraiment étudié de géométrie jusque là, à part peut-être au collège, les programmes se concentrent maintenant bien plus sur l'analyse, l'algèbre, et un peu de probabilité...

Dernière modification par Maenwe (09-09-2019 14:14:03)

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#10 09-09-2019 15:47:04

freddy
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Re,

@yannD :l'orbite de la terre est une ellipse dont le soleil est un des foyers !!!


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#11 09-09-2019 16:08:15

Zebulor
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

re,
@YannD : les coniques sont au programme de certaines préparations internes aux concours d'ingénieurs dans la fonction publique...

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#12 09-09-2019 17:06:09

yannD
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Bonsoir Maenwe, j'ai lu le # 6, peux-tu me dire si je peux écrire ça :

je pars de  : $\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1.$

Si $a = b$

$\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{a^2} = 1$       ou   $\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1 $

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#13 09-09-2019 17:09:39

yannD
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

arrivé là, j'aimerais savoir si je peux mettre sous la forme d'une seul et meme fraction puisque j'ai $a^2$ pour les 2 fractions

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#14 09-09-2019 17:26:36

yoshi
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Re,

Bien sûr tu peux écrire au choix (pourquoi non ?) :
$\dfrac{x^2+y^2}{a^2}=1$  ou   $\dfrac{x^2+y^2}{b^2}=1$
Je prends le 1er cas et je multiplie les deux membres par $a^2$ (car bien sûr , il n'est pas question que a ou b soient égaux à 0) et j'arrive à :
$x^2+y^2=a^2$ qui est l'équation du cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon a.

Va voir GeoGebra
Tape O=(0,0)
puis $x^2+y^2=9$ et tu verras...

Alors les coniques avaient déjà disparu des programmes de Maths 2019 Simple  + enseignement de spécialité Maths, alors, ils n'existent plus non plus dans les programmes de Terminale avec option Maths (la Ts n'existe plus !).

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#15 09-09-2019 17:41:18

yannD
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Oui, si a /b  = 1 , c'est b ≠ 0 donc c'est chercher les solutions dans $D_f = ]-\infty; 0[\, \cup\, ]0; + \infty[$

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#16 09-09-2019 18:02:16

yannD
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1$

$<=>$

$\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} = 1 $


$a^2$ ne devant jamais être nul, je dois donc chercher les solutions  de  $\dfrac{x^2 + y ^2}{a^2} = 1 $ dans le domaine de définition : $D_f = ]-\infty ; 0]\,\cup\, ] 0; + \infty [$

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#17 09-09-2019 19:43:22

Zebulor
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Bonsoir Yann,

yoshi a écrit :

$\dfrac{x^2+y^2}{a^2}=1$  ou   $\dfrac{x^2+y^2}{b^2}=1$

En effet [tex]a^2[/tex] ou [tex]b^2[/tex] ne doivent jamais être nul .. ce qui équivaut à [tex]a \ne 0[/tex] ou [tex]b \ne 0[/tex]
Et si [tex]a[/tex] était nul, il ne se passerait pas grand chose géométriquement... parce que $x^2+y^2=a^2$ reviendrait à $x^2+y^2=0$, soit [tex]x=y=0[/tex]

Pour tout [tex]a[/tex] non nul et positif, $x^2+y^2=a^2$ $<=>$ $\dfrac{x^2 + y ^2}{a^2} = 1 $....j'ajoute "et positif" car [tex]a[/tex] représente une distance géométriquement..


yannD a écrit :

... je dois donc chercher les solutions  de  $\dfrac{x^2 + y ^2}{a^2} = 1 $ dans le domaine de définition : $D_f = ]-\infty ; 0]\,\cup\, ] 0; + \infty [$

2 questions me viennent à l'esprit :

A quelle fonction [tex]f[/tex] penses tu ? Et une autre question sous jacente:

le graphe d'un cercle complet peut il être celui d'une fonction ?

Dernière modification par Zebulor (10-09-2019 04:14:27)

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#18 09-09-2019 20:33:12

Maenwe
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Re-bonsoir !

@Yann, ici $a$ est un nombre que l'on fixe au préalable (il doit être strictement positif pour l'équation ci-après, parce que diviser par zéro c'est pas bien, enfin, ça n'a surtout pas de sens mathématiques), chercher les solutions de $\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}=1$ c'est chercher l'ensemble des points $P = (x,y)$ dont les coordonnées respectent l'équation précédente. Et il se trouve que l'ensemble des solutions (comme je l'ais expliqué au post #6) forme un cercle dans le plan. Ça c'est le point de vu géométrique, un point de vue plus analytique serait de dire que l'on cherche l'ensemble des valeur $x$ et $y$ qui respectent l'équation ci-dessus.

Dernière modification par Maenwe (09-09-2019 20:33:57)

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#19 10-09-2019 08:15:45

freddy
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Re : Courbe elliptique et courbe parabolique

Salut,

c'est l'équation du cercle de centre l'origine et rayon a >0.
L'équation générale du cercle  de centre $(x_0,y_0)$ et de rayon $r > 0$ est $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$


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