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#1 09-09-2019 13:31:55

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 12

Nombres rationnels/ decimaux sur calculatrice

Bonjour à tous,

Comment peut on savoir si un nombre est decimal ou rationnel non decimal à partir de la calculatrice.

Car en effet, la calculatrice n'affiche pas toutes les decimales de plus s'il y a périodicité la periode peut apparaitre bien loin dans la partie decimale donc peut-etre dans la partie non affichée par la calculatrice.

Un exemple 78125/564. Comment savoir s'il est decimal ou non ?

Merci !

Dernière modification par Tania (09-09-2019 13:34:07)

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#2 09-09-2019 15:17:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 784

Re : Nombres rationnels/ decimaux sur calculatrice

Bonjour,

Pas évident de répondre de façon courte et simple...
Bon...
Un nombre décimal est un nombre dont la partie décimale est finie, il peut donc s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 : $10^n = 2^n\times 5^n$
Une fraction peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale si, après simplification, le nouveau dénominateur ne contient que des puissances de 2, de 5 ou (de 2 et de 5).
D
onc il faudrait simplifier la fraction jusqu'à la fraction irréductible et pour cela chercher le pgcd du numérateur et du dénominateur...
Si le PCD est différent
Dans ton exemple ; PGCD(78125,564)=1
La fraction est déjà irréductible...
Reste à savoir quelle est  la décomposition en produit de facteurs premier de 564 :
564  est un multiple de 4 (4=2²) 564/4 = 141
141 est premier, et 78125 n'est pas multiple de 141 : [tex]\dfrac{78125}{564}[/tex] n'est pas simplifiable - donc est irréductible - et le quotient n'est pas un décimal...

Si le PGCD est différent de 1, alors diviser numérateur et dénominateur par ce même PGCD pour obtenir une fraction irréductible.
Si la décomposition du nouveau dénominateur contient d'autres facteurs premiers que 2 ou 5, la fraction ne donnera pas de quotient décimal, mais une suite décimale périodique illimitée appartenant à [tex]\mathbb Q[/tex] sans appartenir à [tex]\mathbb D[/tex]...

@+


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#3 09-09-2019 15:54:59

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 12

Re : Nombres rationnels/ decimaux sur calculatrice

Merci beaucoup Yoshi ! c'est plus clair.
Mais qu'en est-il de la calculatrice,
Est-il possible d'en deduire que 78125/564 est rationnel non decimal à partir de la calculatrice. Existe t il une fonctionnalité particuliere sur la machine qui le permet ?

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#4 09-09-2019 16:54:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 784

Re : Nombres rationnels/ decimaux sur calculatrice

Re,

Tu veux dire, existe-t-il une fonction "cachée" des calculettes graphique utilisées en Lycée qui permettrait de le dire ?
La Casio Collège FX92 peut permettre de trouver la réponse avec la touche a+b/c et éventuellement qq calculs supplémentaires, alors, comme qui peut le plus peut le moins, les grosses calculatrices doivent pouvoir le faire...
En tous cas, la Graph35+ de Casio (qui n'est pas jeune) possède aussi la touche a+b/c !
Si je tape
*  45 a+b/c 18 EXE j'obtiens 2 _| 1 _| 2 qui signifie $2+\dfrac 1 2$  et $2+\dfrac 1 2=\dfrac{2\times 2+ 1}{2}=\dfrac 5 2$ qui est la fraction
    irréductible égale à 45/18. Décimal

*  45 a+b/c 24 EXE j'obtiens 1 _| 7 _| 8 qui signifie $1+\dfrac 7 8$  et $1+\dfrac 7 8=\dfrac{8\times 1+ 1}{8}=\dfrac 9 8$ qui est la fraction
    irréductible égale à 45/24. $8 =2^3$. Décimal

* Pour 78125a+b/c 564 EXE j'obtiens 138,519035... Cette fraction est irréductible
   Je n'ai pas le choix, je dois continuer : $78125-564 \times 138 = 293$.
   Donc $\dfrac{78125}{564}=\dfrac{564\times 138+293}{564}= 138+\dfrac{293}{564}$
   $\dfrac{293}{564}$ est une fraction irréductible et  le quotient donnerait la partie décimale de 78125/564.
   Et la question à se poser est 564 est-il multiple de 2 ? Oui, de 4 ? oui,  de 8  ? non.
   564/4 = 141 qui est non multiple de 5 (et premier)
   La fraction 78125/564 ne donnera pas de nb décimal.

A part ça aucune touche ne te donnera la réponse immédiate...

@+


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