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#1 31-08-2019 16:28:39

EdgarBomy
Membre
Inscription : 31-08-2019
Messages : 2

Cylindre inscrit dans un cône

Bonjour, alors voila, l'année vient de commencer et le professeur nous a donné un problème en devoir que ma classe et moi n'arrivons pas a résoudre. Peut-être l'un d'entre vous allez savoir nous aider ? Si c'est le cas mille merci !!

1567268873-img-5169.png

Voici l'image du problème, désolé pour les marques
a coté. Merci beaucoup !

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#2 31-08-2019 17:11:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 497

Re : Cylindre inscrit dans un cône

Bonjour,

Et si je présente ce dessin : normalementça doit te rappeler quelque chose...:
190831071247406594.png
Un triangle coupé par une droite parallèle à l'un des côtés normalement ça doit te rappeler quelque chose......
Tu vas terminer par la résolution d'une équation du 1er degré à une inconnue r.

Tu vois ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 01-09-2019 19:49:41

EdgarBomy
Membre
Inscription : 31-08-2019
Messages : 2

Re : Cylindre inscrit dans un cône

Merci de ta réponse ! Je vois ou tu veux en venir mais je n'ai jamais appris a utiliser Thalès et encore moins avec une équation.. un coup de pouce supplémentaire serait apprécié.

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#4 02-09-2019 10:16:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 497

Re : Cylindre inscrit dans un cône

Bonjour,

Jamais vu Thalès ? Diable !... As-tu vu les théorèmes de la droite des milieux dans le triangle ?
Tu entres en 3e ? en 2nde ?
AS-tu fait de la trigonométrie dans le triangle rectangle : sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu ?
Aurais-tu étudié les homothéties de rapport positif ?

En attendant, je vais d'abord t'expliquer le th de Thalès, après je vais essayer de supposer ce que tu peux avoir vu et échafauder des explications pour masquer que tu as utilisé le théorème de Thalès sinon tu te dénoncerais immédiatement comme la solution n'étant pas de toi (ton prof s'en apercevra peut-être quand même, alors derrière, s'il t'interroge, tu auras intérêt à ne pas bafouiller... ^_^)...

Thalès, ce n'est rien d'autre que la proportionnalité dans le triangle...
Si dans un triangle ABC, tu coupes les côtés [AB] en M et [AC] en N par une droite (MN) parallèle (c'est la condition sine qua non d'utilisation) au côté [BC], alors tu peux écrire les rapports égaux suivants :
$\dfrac{AM}{AB}= \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$
Écrire les deux premiers rapports en repartant chaque fois du point opposé aux côtés parallèles, ici A.
Le dernier rapport (longueurs des côtés parallèles est parfois appelé rapport complémentaire)
Quand moi, j'étais Lycéen, il a de cela des dizaines d'années, la formulation dudit théorème se résumait à :
Des parallèles découpent sur des sécantes des segments de longueurs proportionnelles

Approche expérimentale.
Si tu places ton point D au milieu de [SA], E sera au milieu de [CA] et B au milieu de [SA]
Donc SD = SC/2,  SB = SA/2 et CE = CA/2 : un petit peu de géométrie et ça se prouve facilement...
De proche en proche, si tu places un point D1 au milieu de [SD], tu construis ton rectangle :  E1 sera au milieu de [CA] et B1 au milieu de [SA]... un petit peu de géométrie et ça se prouve facilement... (Peux-tu le faire ?)
Et tu peux recommencer...
Et si tu places D2 au milieu de [D1C], tu construis ton rectangle et  alors SD_2 =\dfrac 3 4 SC,\; CE_2 =\dfrac 3 4 CA,\;SB_2=\dfrac 3 4 SA$
Ok jusque-là ?

Mais il n'y a pas que ces seuls rapports qui marchent si tu prends n'importe quelle fraction $\dfrac a b$ et que tu places $D_n$ tel que  $SD_n =\dfrac a b SC$ alors $CE_n =\dfrac ab CA$, $SB_n=\dfrac 3 4 SA$.

Ce que traduit le théorème de Thalès par l'égalité des rapports sur mon dessin $\dfrac{SB}{SA}= \dfrac{SD}{SC} = \dfrac{DB}{CA}$
SB/SA ne t'intéresse pas (même si SA mesure 13. Le triangle dont les côtés mesurent 5, 12, 13 est rectangle tu peux vérifier)
Donc on va se concentrer sur $\dfrac{SD}{SC} = \dfrac{DB}{CA}$
Or BDCE étant un rectangle, CE =DB.
Et donc $\dfrac{SD}{SC} = \dfrac{CE}{CA}$
On a CE =r, SC = 12 et CD = h =2r n donc SD = 12 - 2r
On remplace :
$\dfrac{12-2r}{12} = \dfrac{r}{5}$
Produits en croix : $ 5(12-2r)=12r$
Après développement, réduction, la solution est [tex]r=\dfrac{60}{22}=\dfrac{30}{11}[/tex] et je donne une valeur exacte (pas de valeur approchée demandée....

.......................................

Avec  la trigo...
Dans le triangle SCA : $\tan\widehat{S}=\dfrac{CA}{CS}$

Dans le triangle SDB : $\tan\widehat{S}=\dfrac{BD}{BS}$

Donc les deux expressions de $\tan\widehat{S}$ sont égales : $\dfrac{CA}{CS}=\dfrac{BD}{BS}$
CBDE est un rectangle  donc DB = CE = r
DC=2r et CS = 12 donc DS = 12-2r
On remplace :
$\dfrac{5}{12}=\dfrac{r}{12-r}$
Produits en croix :
$5(12-2r= 12r$...
si tu connais les théorèmes de la droite des milieux, la démo avec les milieux est évidente.
Tu présentes comme ça.
Tes dessins ont été faits avec Geogebra
"J'ai pensé" que en plaçant D au milieu de [CS] comme (BD) // (CA) alors  B est le milieu de [SA].
D et B étant les milieux de [SC] et [SA] alors BD = CA/2
BDCE érant un rectangle CE= BD, alors CE = CA/2, et E est le milieu de [CA]...
Après tu reprends les explications avec D1 et tu dis que tu as vérifié que si tu prends le milieu D2 de [SD1], ça marche aussi avec les triangles SD2B2...

Et tu as alors pensé que si tu places non plus  D2 au milieu de [SD], mais au milieu de [DC], et que tu construis le rectangle  [CD2B[2]E2] tu as lu que le segment  [D2B[2]] était appelé base moyenne du trapèze [CD2B[2]A] et qu'il mesurait [tex]\dfrac{BD+AC}{2}[/tex] soit 3/4 CA
Alors  D2 était le milieu de [AD] et E2 celui de [AE].
Et SD2=3/4 SC
Et comme CE2 = D2B2 alors CE2=3/4 CA...

C'est tarabiscoté, pas parfaitement rigoureux (c'est voulu) mais plausible (=ça fait "vrai"). Et tu poursuis en expliquant que tu t'es dit que ça devait être toujours vrai et donc que $\dfrac{SD}{SC} = \dfrac{CE}{CA}$
SC =12, DC=2r donc SD = 12-2r
CA =5  et CE =r
On remplace :
$\dfrac{12-2r}{12} = \dfrac{r}{5}$
Produits en croix : $ 5(12-2r)=12r$...
...........................

Homothétie de rapport positif (c'est le cas puisqu'on travaille avec des longueurs)
Puisque tu coupes les côtés [SC] et [SA] du triangle ASC par la droite (BD) parallèle au côté [AC] alors il existe une homothétie de centre S et de rapport positif k <1, dans laquelle  D est l'image de C B est l'image de A : ou inversement, alors k>1.
Donc :
$\dfrac{SD}{SC}= \dfrac{SB}{SA}$
Et comme tous les côtés homologues sont dans le même rapport :
$\dfrac{SD}{SC}= \dfrac{SB}{SA}=\dfrac{DB}{CA}$
.............................

------------------------------------------------------
Si tu n'as pas vu les t. de la droite des milieux (classe 4e), théoème de Thalès (direct) appelé parfois proportionnalité dans le triangle (classe de 4e) : (on voyait bien en 4e lorsque j'étais encore en activité il y a 10 ans...) ou tangente (3e) ou homothétie de rapport positif, alors, il va falloir que je trouve une autre idée mais là il faut que je connaisse classe (enfin niveau puisque accès depuis le Québec), Lycée Français ou pas...
Après j'irai fouiller dans vos programmes officiels pour voir ce que tu es censé avoir appris.

@+

Dernière modification par yoshi (02-09-2019 11:55:10)


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#5 08-09-2019 09:41:28

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 497

Re : Cylindre inscrit dans un cône

Bonjour,

EdgardBony, le 1er septembre 2019 a écrit :

un coup de pouce supplémentaire serait apprécié.

Aujourd'hui 8 septembre, une semaine de silence radio plus tard,  je mesure combien mon coup de pouce  (vraiment un très gros pouce !) était nécessaire et a été apprécié...

Chapeau l'artiste ! Si jamais tu reviens, t'as intérêt à avoir à avoir une justification "en béton" !

@+


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