Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#76 23-08-2019 17:48:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Mais non, mais non...

Si tu raisonnes froidement, tu vas constater que, bien au contraire, ça te simplifie le travail...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#77 23-08-2019 18:00:09

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

froidement ?
bon, je propose :

$f(x) = \sqrt{|x^2  - 4|} $

$\sqrt{x}$ pour < 0 n'existe pas ( une valeur interdite est une valeur pour laquelle f(x) n'existe pas )
donc $|x^2-4| >0$
je dois chercher les valeurs de $x$ pour lesquelles $|x^2-4| > 0$

Hors ligne

#78 23-08-2019 18:13:03

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

je dois chercher les valeurs de x pour lesquelles |x²−4|>0

Oui, alors maintenant que tu poses la bonne question, c'est tout simple...
Peut-on avoir |x| <0 ?
(définition de la valeur absolue)

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#79 23-08-2019 18:19:03

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Peut-on avoir |x| < 0 ?

Hors ligne

#80 23-08-2019 18:20:09

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

$|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|  = x$  si $x < 0$

Hors ligne

#81 23-08-2019 18:21:25

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Oui, et alors ? Tu en déduis quoi sur le signe de |x] ?

@zebulor. Bien d'accord, c'est ce que je lui ai dit au post #76. Faut pas se laisser impressionner...

Dernière modification par yoshi (23-08-2019 18:26:33)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#82 23-08-2019 18:22:54

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Définition :
    $|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|$  = x  si $x < 0$

Hors ligne

#83 23-08-2019 18:24:42

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

Je répète ma question :

Post #81, Yoshi a écrit :

Oui, et alors ? Tu en déduis quoi sur le signe de |x] ?


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#84 23-08-2019 18:26:10

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

j'ai un carré dans la valeur absolue donc x > 0

Hors ligne

#85 23-08-2019 18:26:36

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@ Yann : il te suffit de traduire par des mots tes deux égalités du post #82 pour en déduire le signe de valeur absolue de x suivant que x>0 ou x<0.

Dernière modification par Zebulor (25-08-2019 00:18:33)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#86 23-08-2019 18:27:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

@YannD
Tu réponds à côté :
quel est le signe de |x| ?

Dernière modification par yoshi (24-08-2019 13:00:24)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#87 25-08-2019 08:00:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

Alors, je suis obligé de préciser ma pensée
Quand j'écris : quel est le signe de |x| ?, le est un article défini, cela signifie que ce signe est unique !

Une variable $x$ peut être négative, positive ou nulle. Si x =0, x n'est ni positif ni négatif...
Avec $x\neq 0$,
Peut-on avoir
|x|< 0 ?
|x| >0 ?
Justifie ta réponse grâce à la définition (que tu connais parfaitement d'ailleurs)...

Deux exemples :
|-3] = ?
|+5] = ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#88 25-08-2019 11:19:13

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

yannD a écrit :

Définition :
$|-x|$  = [tex]x[/tex]  si $x < 0$
$|x|$  = [tex]x[/tex]  si $x > 0$

@YannD : C'est tout à fait exact et c'est strictement la même chose que :
Définition :
|[tex]x[/tex]| =[tex]-x[/tex]  si  $x< 0$
|[tex]x[/tex]| =[tex]x[/tex]  si  $x>0$
On pourrait mettre des inégalités larges à moins d'ajouter |[tex]x[/tex]| =[tex]0[/tex]  ssi  [tex]x=0[/tex]

@YannD : et si tu traçais la fonction  [tex]x[/tex] [tex]\mapsto [/tex]|[tex]x[/tex]|, est ce que tu n'y verrais pas plus clair ..?

Dernière modification par Zebulor (25-08-2019 16:53:01)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#89 25-08-2019 21:56:07

Maenwe
Invité

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

yannD a écrit :

Définition :
    $|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|$  = x  si $x < 0$

Bonsoir,

C'est peut-être une erreur de frappe mais la troisième ligne n'est pas correcte (mais je n'ai rien à redire à la définition que propose Zebulor ;)), ce serait plutôt :
$|x|  = |-x| = x$  si $x > 0$

Et au passage j'en rajoute de ma petite interprétation :
La valeur absolue permet de ne pas s'embêter avec le signe d'un nombre, et pour cela on regarde le nombre "en valeur absolue" (positive).

C'est ainsi que je l'avais compris en 3ème, mais si jamais tu vas plus loin dans tes études en mathématiques (après le BAC) tu verras que la valeur absolue possède une autre interprétation très élégante.

Cordialement.

#90 26-08-2019 09:45:53

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Re,

Pour l'instant, Yann entre en 1ere..
Je pense qu'il est temps de mettre les choses au clair.
La seule définition qui lui importe est la suivante :
$|x|=\begin{cases}\;\;\;x\; \text{ si  }x >0\\\;\;\;0\;\text{ si  }x=0\\-x\;\text{ si  }x<0\end{cases}$
Et on peut alors écrire aussi :
* si $x >0$   alors  $|x|=x >0$
* si $x=0$   alors  $|x|=0$
* si $x<0$   alors  $|x|=-x = \text{ opposé d'un nombre négatif }>0$

Et de même qu'on dit qu'une racine carrée est toujours positive ou nulle, on peut dire qu'une valeur absolue est toujours positive ou nulle...

Et pour boucler la boucle, cher YannD, un petit coup de massue (?) pour terminer : le lien qui existe entre racine carrée et valeur absolue, lien que je te laisse méditer : $\sqrt {x^2} = |x|$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#91 26-08-2019 09:58:54

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,

Définition :
    $|x|  = x$  si $x > 0$
$|-x|$  = x  si $x < 0$

en effet cette 3e ligne n'est pas correcte... ! je m'y suis moi même embrouillé...  Merci Maewe pou cette précision.... et sans vouloir donner des coups de massue à notre Yann sympathique et motivé !

Dernière modification par Zebulor (26-08-2019 10:02:57)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#92 26-08-2019 13:36:09

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Salut Yoshi, je ne sais pas si c'est la réponse que tu attends mais je propose :

                    $\sqrt {x^2} = |x|$

$\sqrt {x^2} = x$          et          $ |x| = x $     si $x >0$
                                    $ |x| = - x $   si $x<0$

2 cas:
   - si $x > 0$

    $\sqrt {x^2} = x$     et           $|x| = x$


-  si $x < 0$

   $\sqrt {-x^2} = x$      et         $ |x|= -x$



   donc (dans les  cas ) $\sqrt {x^2} = |x|$

Hors ligne

#93 26-08-2019 14:23:57

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour Yann,
tu t'adresses à Yoshi, mais comme je tombe sur ton post.. !
Ok pour  $\sqrt {x^2} = x$    si  x>0.  Tu peux même inclure la valeur [tex]0[/tex] et ajouter une équivalence : $\sqrt {x^2} = x$    <=>  [tex]x \ge 0[/tex]

Ensuite :

yannD a écrit :

-  si $x < 0$
   $\sqrt {-x^2} = x$      et         $ |x|= -x$
  donc (dans les  cas ) $\sqrt {x^2} = |x|$

Petit problème dans cette écriture :  $\sqrt {-x^2}$ parce que le signe "-" porte sur le carré de [tex]x[/tex].
Alors [tex]-x^2[/tex] est négatif car [tex]x^2[/tex] est toujours positif. Or la racine carré d'un nombre strictement négatif n'existe pas dans R

Par contre :  -  si $x < 0$
   $\sqrt {x^2} = -x$      car   $ |x|= -x$ lorsque [tex]x<0[/tex] et là encore tu peux mettre une inégalité large [tex]x \le 0[/tex]..
  Exemple : [tex]x=-3[/tex]  :   $\sqrt {(-3)^2} = -(-3)   ...$ et [tex]-(-3)[/tex] tu sais ce que ça vaut...
  Ici le carré porte bien sur le nombre [tex]-3[/tex]
Par contre  $\sqrt {(-x)^2} $ existe et dans ce cas : $\sqrt {(-x)^2}=\sqrt {x^2}=|x| $

sinon je cherche à comprendre pourquoi tu écris : $\sqrt {-x^2} $ dans le cas [tex]x<0[/tex]..

Je crois que Yoshi a voulu t'aider pour la réponse à la question qu'il te posait : à savoir quel est le signe de |[tex]x[/tex]| sachant que |[tex]x[/tex]|= $\sqrt {x^2}$

Dernière modification par Zebulor (26-08-2019 14:40:06)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#94 26-08-2019 14:27:05

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

yannD a écrit :

Salut Yoshi, je ne sais pas si c'est la réponse que tu attends mais je propose :

                    $\sqrt {x^2} = |x|$

Aïe, aïe, aîe :

-  si $x < 0$

  $\sqrt {x^2} =- x$      et         $ |x|= -x$

Salut,

fais un peu attention :-)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#95 26-08-2019 14:38:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

RE,

$\sqrt {-x^2} = x$

Ça, tu n'as pas le droit de l'écrire.
Réfléchis une minute : $x^2$ est toujours positif donc, $-x^2$ est toujours négatif...
C'est bien d'avoir essayé quelque chose, mais en l'occurrence, là je ne demandais rien : je te donnais un élément de réflexion, une propriété très importante...
Et donc par rapport à ce que tu as écrit, il y a une différence fondamentale entre $-x^2$ et $(-x)^2$...
En effet :,
* $-x^2= -1 \times x^2$. Comme, en l'absence de parenthèses, la puissance est prioritaire sur la multiplication, voilà le calcul de $-2^2$ :
   $-2^2=-1 \times 2^2 = -1 \times 4=-4$
* $(-2)^2$ . Là, c'est la définition de la puissance $a^2 = a \times a$. Donc $(-2)^2 = (-2)\times (-2)=4$...
Où suis-je remonté pour pêcher ça  ? Devine ! ^_^  En 4e... :-;

Donc je reprends : une racine carrée est toujours positive (ou nulle).
$\sqrt{2^2} =2$  et $\sqrt{(-2)^2} =2$ tant qu'on utilise des nombres, on voit bien ce qu'il faut faire...
Par contre $\sqrt{(x)^2} =?$ si $x<0$, c'est un peu piégeux, au début, n'ayant pas la valeur de $x$ (vois-le comme une une enveloppe cachetée dans laquelle est écrit un nombre (ici négatif) puisque tu ne le vois pas....
Tout ce que ce tu sais, c'est qu'il est négatif...
Alors, tu contournes la difficulté est disant :
$\sqrt{x^2}=...$ quand x est négatif ?.... Hmmmm... C'est l'opposé du nombre qui est dans l'enveloppe, donc $-x$...
Si tu as cet exemple en tête et que tu penses bien que $-x$ est l'écriture de l'opposé de $x$ tu penseras que : $\text{si }x<0\;\;\text{ alors }\;\;(-x)>0$...

Si $x >0$  alors  $\sqrt{x^2}=x >0$
Si $x = 0$  alors  $\sqrt{x^2}=\sqrt{0^2}=\sqrt 0 =0$
Si $x <0$  alors  $\sqrt{x^2}= -x >0$ (opposé d'un négatif = positif)

Et bien, c'est exactement la définition de $|x|$.
On résume tout ça en écrivant que :
$\text{Quel que soit }x \in \mathbb R,\; \sqrt{x^2}=|x|$...

C'est clair ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#96 26-08-2019 19:42:38

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir Yoshi
J'ai quant même envi de reprendre ce que j'ai essayé de faire  au # 92
(j'ai dû croire que tu me demander de démontrer  $\sqrt {x^2} = |x|$

je vais essayé de reprendre ' la démonstration que j'ai voulu faire ' avec les explications du # 93, (avec les précisions apportées par Zebulor )

         $\sqrt {x^2} = |x|$

     si $x≥ 0$
     
$\sqrt {x^2} = x$          et.         $|x| = x $

Est ce que je peux écrire ça  ?
( je démontre en faisant 2 colonnes, c'est à dire 1 colonne pour $\sqrt {x^2} $ et une autre pour |x|$)

Hors ligne

#97 26-08-2019 20:27:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir,

Oui, tu peux...

Cette relation est très importante...


@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#98 27-08-2019 08:40:49

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,
@Yann :  $\sqrt {(-x)^2}$ :tu peux l 'écrire aussi parce que $\sqrt {(-x)^2}= \sqrt {x^2}$ existe toujours
   Par contre $\sqrt {-x^2}$  est la racine carré d'un nombre négatif et n'existe pas dans R privé de 0...

Dernière modification par Zebulor (27-08-2019 08:46:18)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#99 31-08-2019 17:08:29

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonjour,
@Yann : en attendant que tu finisses de batailler en géométrie.
Si tu veux montrer que  $\sqrt {x^2}=|x|$, il est toujours possible de transformer l'écriture : $\sqrt {x^2}-|x|$ en distiguant les cas suivant [tex]x[/tex], sachant que pour [tex]x=0[/tex] l'égalité est évidente.


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#100 31-08-2019 21:47:56

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 1 589

Re : f(x) = (x-3)(x-2)/(x-1)(x+2)

Bonsoir ,

résoudre  $\sqrt {x^2}=|x|$, revient à résoudre $\sqrt {x^2} - |x| = 0$, c'est ce que tu veut dire ?

est ce que c'est comme pour résoudre une équation avec $x^2$ ? puisque résoudre $x^2 = k$ , et. si $k > 0$ c'est résoudre l'équation $x^2 - k = 0 $  et je trouve deux solutions (en factorisant  j'arrive à une équation produit )  . Mais ici ??

Hors ligne

Pied de page des forums