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#1 13-08-2019 02:47:57
- GhostX_X
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L'étude d'une suite
Bonjour , s'il vous plait , je veux étudier une suite récurrente définie par :
U0 appartient à [0;1]
et
Un+1=(1- Un)sin(Un)
j'ai essayé d'étudier la fonction f(x)=(1-x)sin(x)
mais j'ai pas pu continuer car il est presque impossible de savoir le sens de variation de cette fonction.
Et merci d'avance :)
Dernière modification par GhostX_X (13-08-2019 02:57:14)
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#2 13-08-2019 07:39:18
- Black Jack
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Re : L'étude d'une suite
Salut,
Si 0 <= U(n) <= 1
on a : 0 <= (1-U(n)) <= 1
et on a aussi 0 <= sin(Un) <= 1
--> 0 <= (1-U(n)).sin(U(n)) <= 1
0 <= U(n+1) <= 1
Donc tous les termes de la suite Un sont dans [0 ; 1]
*****
U(n+1) - U(n) = (1 - U(n))*sin(U(n) - U(n)
g(x) = (1-x).sin(x) - x avec x dans [0;1]
g'(x) = cos(x) - sin(x) - x.cos(x) - 1
g'(x) = (cos(x)-1) - sin(x) - x.cos(x)
g'(x) < 0 (car somme de 3 termes négatifs) --> g(x) est décroissante.
g(0) = 0
et donc, des 2 lignes précédentes, on déduit que g(x) <= 0 sur [0 ; 1]
--> U(n+1) - U(n) <= 0
U(n+1) <= U(n)
La suite Un est décroissante ou constante.
A comprendre, remettre en forme ... et au besoin corriger.
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#3 17-08-2019 22:21:00
- Mohamed Nejjarou
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- Inscription : 17-08-2019
- Messages : 1
Re : L'étude d'une suite
Salut
Pourquoi vous avez pris 0=<Un=<1 ?
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#4 18-08-2019 08:34:36
- freddy
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- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : L'étude d'une suite
Salut
Pourquoi vous avez pris 0=<Un=<1 ?
Salut,
au début, tu as $u_0$ dans le segment unité.
Ensuite, par définition de la suite, on prouve facilement que tous les termes qui suivent restent dans le segment unité $[0,1]$.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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