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#1 01-08-2019 13:31:55

Cartha
Invité

Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Hello
je vais faire cours
Soit D := (x,y,z) tq x²+y²+z²<=1 et x²+y²+(z-1)²<=1
Entre autre l'intersection des deux boules fermées de rayon 1 et de centre (0,0,0) et (0,0,1)

Je cherche à calculer l'intégrale de f(x,y,z)=z sur D en passant par les coordonnées sphériques
x=rcos phi cos téta
y=rcos phi sin téta
z=rsin phi

phi etant l'angle par rapport a Oz et téta à Ox

On voit que le domaine est au final que deux portions de sphères symétriques par rapport au plan z=1/2
J'ai essayé de coupé les deux domaines en prenant 0<phi<2pi/6 et 2pi/3<phi<pi/2
mais je me retrouve a encadrer le rayon sur 0<r<1/2sin phi

bref je bloque completement sur la méthode heelp I need Somebooody

Merci de vos réponses !

#2 01-08-2019 15:16:33

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 36

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Bonjour,

si tu fais un changement de coordonnées, tu dois modifier ton ensemble D en remplacent :
[tex]\begin{cases} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y=r\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z=r\cos(\varphi) \end{cases} [/tex], avec [tex]\begin{cases} r \in ]0,+\infty[ \\ \theta \in ]0,2\pi[ \\ \varphi \in ]0,\pi[ \end{cases}[/tex].

Tu as donc [tex]D:=\big\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} \; | \; x^2+y^2+z^2 \leq 1 \; , \; x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1 \big\} [/tex] qui devient

[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \in  ]0,+\infty[\times]0,2\pi[\times]0,\pi[ \; | \; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\varphi) \leq 1 \; , \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+(r\cos(\varphi)-1)^2 \leq 1 \big\}[/tex]
[tex]\dots \dots \dots[/tex]
[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \; | \; a \leq r \leq b \; , \; c \leq \theta \leq d \; , \; e \leq \varphi \leq f \big\}[/tex]

(Je te laisse déterminer [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]e[/tex] et [tex]f[/tex])

Dernière modification par Guitout (01-08-2019 20:43:35)

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#3 02-08-2019 01:42:29

Carthapus
Invité

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

78Yes c'est la ou je coince

la premiere equation donne r²<=1
la seconde on peut développer en r²-2rcosphi<=0

en faisant la seconde moins la premiere on a 2rcosphi>=1
Mais la j'encadre phi ? J'ai 0<r<1 avec la premiere equation du coup ?
Dans tous les cas téta n'intervient pas, 0<téta<2pi

#4 02-08-2019 08:54:43

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 36

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Bonjour,

J'ai trouvé la même chose pour [tex]r[/tex] et effectivement on ne touche pas à [tex]\theta[/tex]

Pour encadrer [tex]\varphi[/tex], je te proposes ceci :

[tex]r^2-2r\cos(\varphi) \leq 0[/tex]
[tex]\iff r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0[/tex]

Tu sais que [tex]r \in ]0,1][/tex], donc [tex]r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0 \implies r-2\cos(\varphi)\leq0[/tex]
[tex]\iff r\leq2\cos(\varphi) \iff \varphi \geq \arccos(\frac{r}{2}) [/tex]

Tu te retrouves donc avec les relations suivantes : [tex]\begin{cases} 0<\varphi<\pi \\ \arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi \end{cases}[/tex]
Comme [tex]0< r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2} \iff \frac{\pi}{2} > \arccos(\frac{r}{2}) \geq \frac{\pi}{3}[/tex], tu obtients l'encadrement suivant :

[tex]\boxed{\arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi<\pi}[/tex]

Dernière modification par Guitout (02-08-2019 08:59:26)

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#5 02-08-2019 14:01:51

Carthapus
Invité

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Merci de ta réponse
On est d'accord pour téta et r

Donc si j'encadre arccos(r/2)≤φ<pi et que je pose mon intégrale j'obtiens,
J() = r²sinφ
Donc comme je voulais intégrer f() = z = r cosφ j'ai donc Int():r^3cosφsinφ
Je dois faire le changement sinφcosφ=sin(2φ)/2
En primitivant téta direct, puis φ je me retrouve avec

Pi/2(Int(0,1): r^3(cos(2Arccos(r/2)) - 1) dr

La je passe par le changement en cos(2x) = 2x² -1 ce qui donne 2(r/2)^2-1
Donc 2r^3(r^2/4 - 1)

Donc on a Pi(Int(0,1): (r^5)/4 -r^3 dr ?? Mais cette intégrale me donne un résultat négatif ( -5pi/24)

#6 02-08-2019 14:03:56

Carthapus
Invité

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

En fait j'ai peur de ne pas avoir pigé l'encadrement de Arccos(r/2)
Mon erreur de résultat négatif doit venir de la ?

#7 05-08-2019 09:23:00

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 36

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Bonjour, j'ai également trouvé [tex]\frac{-5\pi}{24}[/tex]

Et pour l'encadrement de [tex]\arccos(r/2)[/tex], je vais essayer de développer un peu plus :
On a donc : [tex]0<r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2}[/tex]
Maintenant j'applique la fonction [tex]\arccos()[/tex] à l'inégalité précédente : [tex]\arccos(0)>\arccos(\frac{r}{2})\geq\arccos({\frac{1}{2}})[/tex] (j'inverse les inégalités car [tex]\arccos()[/tex] est décroissante sur [tex][0,1][/tex])

Il nous reste donc : [tex]\frac{\pi}{2}>\arccos(\frac{r}{2})\geq\frac{\pi}{3}[/tex]

Hors ligne

#8 07-08-2019 12:45:28

Carthapus
Invité

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Héhé merci de ta réponse ^^

Heureux d'avoir le même résultat je pense qu'on est bon la dessus ^^

J'avais très bien compris la méthode pour encadré Arcos(r/2) la première fois (avec un ptit bug sur l'inversion des inéglités mais c'est ok ^^")

Nan ce que je me demande c'est pourquoi est-on "obligé?" de préciser l'encadrement de Arcos(r/2) en sachant qu'on a tout ce qu'il nous faut pour intégrer avec les bornes de nos variables d'intégration

Si Arccos(r/2) n'avait pas été dans l'ensemble Image entre 0 et Pi, qu'aurait-on fait ?
Il aurait fallu décomposé Phi vu que Arcos(r/2) <= Phi ?

#9 11-08-2019 14:14:13

amekidelli80
Membre
Inscription : 11-08-2019
Messages : 2

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Carthapus a écrit :

En fait j'ai peur de ne pas avoir pigé l'encadrement de Arccos(r/2)
Mon erreur de résultat négatif doit my ip birthday wishes tnebvenir de la ?

On voit que le domaine est au final que deux portions de sphères symétriques par rapport au plan z=1/2

Dernière modification par amekidelli80 (14-08-2019 17:15:23)

Hors ligne

#10 14-08-2019 15:00:49

Carthapus
Invité

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

amekidelli80 a écrit :
Carthapus a écrit :

En fait j'ai peur de ne pas avoir pigé l'encadrement de Arccos(r/2)
Mon erreur de résultat négatif doit venir de la ?

On voit que le domaine est au final que deux portions de sphères symétriques par rapport au plan z=1/2

Par définition de D j'ai envie de dire oui en effet j'avais cette info dès le départ et on peut même dire que le cercle du plan z=1/2 a un rayon de sqrt(3)/2 et que les extremum des portions de sphère sur z sont 0 et 1 mais ça ne répond pas à ma question sur l'encadrement de Arccos(r/2) si ? :/

#11 06-09-2019 17:47:23

ishoulita
Membre
Inscription : 02-09-2019
Messages : 11

Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné

Carthapus a écrit :

78Yes c  Tutuapp 9Apps ShowBox  est la ou je coince

la premiere equation donne r²<=1
la seconde on peut développer en r²-2rcosphi<=0

en faisant la seconde moins la premiere on a 2rcosphi>=1
Mais la j'encadre phi ? J'ai 0<r<1 avec la premiere equation du coup ?
Dans tous les cas téta n'intervient pas, 0<téta<2pi

Entre autre l'intersection des deux boules fermées de rayon 1 et de centre (0,0,0) et (0,0,1)

Dernière modification par ishoulita (06-09-2019 18:52:49)

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