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#1 13-07-2019 09:20:14

Mireille
Invité

Etude de la convergence d'une série

Bonjour, s'il vous plait, je désire prouver la convergence de la série :

[tex]\sum_{n \geq 3} \frac{3^{u_n}}{(u_n)!}[/tex] où [tex]u_n=\left\lfloor{2\frac{\ln(n)}{\ln(\ln(n))}}\right\rfloor+1[/tex]

La recherche d'un équivalent me semble la meilleure méthode, alors comment chercher cet équivalent?

Merci d'avance

#2 22-07-2019 20:28:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 247

Re : Etude de la convergence d'une série

Bonjour

  A mon avis c'est plus facile avec le critère de d'Alembert.

F

Hors ligne

#3 12-08-2019 19:52:58

Maenwe
Invité

Re : Etude de la convergence d'une série

Bonsoir,

J'ai eu quelques idées pour résoudre ce problème :
Tout d'abord on peut remarquer que [tex]\frac{2.ln(n+1)}{ln(ln(n+1))} - \frac{2.ln(n)}{ln(ln(n))}[/tex] converge vers 0 donc [tex]u_{n+1} - u_{n} \in \{0, 1\}[/tex] à partir d'un certain rang k, et on peut de plus montrer que puisque [tex](u_{n})[/tex] tend vers +l'infini, on a, pour tout entier M il existe n et m supérieurs à M tel que [tex]u_{n+1} - u_{n} = 1[/tex] et [tex]u_{m+1} - u_{m} = 0[/tex], donc le critère de d'Alembert ne peut s'appliquer car on aura pas de convergence (le quotient oscille entre 1 et un nombre de plus en plus proche de 0)...
Cependant on peut alors considérer [tex]A_{n} = \{k | u_{k} = n\}[/tex] et [tex]C_{n} = Card A_{n} < +\infty[/tex], on a donc (en nommant S la série que l'on étudie dans ce fil)
[tex]S = \sum_{n > 0} \frac{C_{n}.3^{n}}{n!}[/tex].
Donc il reste a étudier [tex]A_{n}[/tex], ce que j'ai essayé de faire avec des inégalités de concavité sans grande réussite.

Cordialement

#4 12-08-2019 22:22:52

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 172

Re : Etude de la convergence d'une série

Bonjour
Il faut pour terminer donner une majoration de [tex]C_n.[/tex]
Pour cela posons [tex]f(x)=2 ln(x)/ln(ln(x))[/tex]
Une petite étude de f montre que pour x assez grand, (x>n_0),  f'(x)>0,  et f est croissante et f(x^2)-f(x) tend vers l'infini.

Donc pour n assez grand [tex]u_{n^2}-u_n>1.[/tex]   

C'est à dire que pour n assez grand il existe une constante c>0   tel que [tex]C_n< c k^2[/tex] où k est le plus petit entier tel que [tex]u_k=n[/tex]  mais cela implique qu'il existe une autre constante tel que [tex]C_n< c n^2[/tex] 
Cette majoration permet de conclure que la série est  convergente.

Hors ligne

#5 13-08-2019 21:16:00

Maenwe
Invité

Re : Etude de la convergence d'une série

Bonsoir,
C'est astucieux comme preuve, merci de ce point de vue.
Cependant j'ai du mal à voir comment tu passes à la dernière étape du raisonnement avant la conclusion:
Pour n>n_0 avec [tex]k_{n} = min (A_{n})[/tex], on a [tex]k_{n}^{2}>C_{n}[/tex] (si je ne me trompe pas il n'y a pas besoin de constante devant).
Posons [tex]d_{n} = \frac{k_{n}}{n}[/tex] or [tex]n = u_{k_{n}}[/tex]. Donc [tex]d_{n} = \frac{k_{n}.ln(ln(k_{n}))}{2.ln(k_{n})}[/tex] comme k_n tend vers + l'infini, d_n aussi et n'est donc pas bornée, d'où cette question comment est-ce que l'on montre l'existence de la constante c dans la dernière étape ? (Je me rends compte par ailleurs que je n'ai pas utilisé la "minimalité" de k_n...)

#6 14-08-2019 10:07:47

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 172

Re : Etude de la convergence d'une série

Bonjour
Effectivement la fin de ma démo n'est pas très correcte. Alors je rectifie. 
Je pense que tu es d'accord jusque [tex]u_{n^2}-u_n>1[/tex]  pour n assez grand.
Oui la constante c ne sert  à rien.  On a donc pour n assez grand [tex]C_n < k^2[/tex] où k est le plus petit entier tel que [tex]u_k=n.[/tex]
A ce stade je ne sais pas si c'est utile de dire que k est le plus petit, mais laissons. 
Si [tex]u_k=n[/tex], il me faut majorer  k  en fonction de n. 
On a [tex]2 log(k)/log(log(k))<n[/tex]  donc  [tex]n> log(k)/log(log(k))>log(k)[/tex]    pour n assez grand.

C'est à dire [tex]k< e^n[/tex]   et alors  [tex]k^2<e^{2n}[/tex]  pour n assez grand.

D'où [tex]C_n<e^{2n}[/tex]. Alors avec cette majoration on obtient que la série est convergente. D'accord?

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#7 14-08-2019 12:43:34

Maenwe
Invité

Re : Etude de la convergence d'une série

Bonjour,
Je suis tout a fait d'accord avec cette correction.
J'ai eu une idée pour rendre plus efficace la preuve :
En posant [tex]k_{n} = max (A_{n})[/tex] (possible car [tex]Card(A_{n})<+\infty[/tex] ) on a [tex]k_{n}>C_{n}[/tex] et après on applique la suite de la preuve à [tex]k_{n}[/tex], et on a alors [tex]e^{n}>C_{n}[/tex], et on conclu.

#8 14-08-2019 14:41:58

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 172

Re : Etude de la convergence d'une série

Oui  c'est plus simple.

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