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#1 08-08-2019 21:31:22

Volesprit
Membre
Inscription : 08-08-2019
Messages : 9

Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Bonsoir, je suis nouveau sur ce site, je ne suis clairement pas au niveau d'un grand nombre d'entre vous, j'ai un bac+2 et un bac+4 (2 filières différentes) en sciences mais plutôt orientés vers la chimie (c'est loin), néanmoins depuis environ 10 ans je suis prof de cours particulier en maths essentiellement au lycée mais parfois au collège et pour certains Bac+1/Bac+2. C'est mon activité principale avec de bons résultats et la recommandation de certains profs qui ne me connaissent pas directement mais diffusent mes coordonnées après que j'ai eu certains de leurs élèves. Je n'ai même plus besoin de passer d'annonces pour avoir une vingtaine d'élèves par année scolaire. Et je me suis toujours posé une question (elle m'a été posée plusieurs fois et j'ai répondu peut-être bêtement que c'était sensiblement la même chose, surtout à leur niveau): Y a-t-il une différences entre ces notions? J'imagine que si elles n'ont pas le même nom, il y a une raison... Et pas uniquement pour marquer une différence entre les S, les ES et les STI pour ne citer qu'eux. Pourriez vous m'éclairer? Ça m'évitera de dire d'autres conneries si c'en est une! Et désolé pour cette question peut-être un peu nunuche mais j’espère au moins postée au bon endroit, je compte sur votre indulgence! Merci et bonne fin de soirée!

Dernière modification par Volesprit (08-08-2019 21:34:02)

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#2 08-08-2019 23:28:12

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 36

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Bonsoir,

Ce ne sont pas vraiment les mêmes choses :

-Le théorème des valeurs intermédiaires :
Celui-ci permet d'affirmer, par exemple, que si une fonction f continue croissante change de signe sur son domaine, alors cette fonction passe par 0 sur son domaine, autrement dit, pour passer des nombres négatifs au positifs, tu dois passer par 0

Cela marche si f passe de 3 à 8 sur domaine, alors f passe par 4, 6 ou 7.5 par exemple.

-Bijection :
On dit qu'une fonction f est bijective si elle est injective et surjective, autrement dit, chaque image de f possède 1 unique antécédent (et inversement, chaque antécédent possède 1 unique image). Mais la bijection d'une fonction peut varier selon le domaine de départ et d'arriver que l'on donne à f.

Par exemple, si on prend [tex]f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x²[/tex],  alors f n'est pas bijective car l'antécédent de 1 possède 2 solutions, en l'occurrence x=1 et x=-1; mais également que -1 ne possèdent pas d'antécédent. Par contre pour [tex]f : \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}, f(x)=x²[/tex] est bien bijective.

-Dichotomie :
La dichotomie permet de rechercher un nombre en "découpant un intervalle [a,b]" autour de celui-ci, on l'utilise très souvent pour donner une estimation du zéro d'une fonction.
C'est un peu compliqué à expliquer sans dessins mais je vais essayer, si tu ne comprends pas tout, je te conseille de regarder des vidéos sur youtube.

Imaginons que tu cherches un [tex]x_0[/tex] tel que P([tex]x_0[/tex])=0, avec P(x)=x²-x-1. En faisant des calculs vite fait à la main, tu te rends compte que [tex]x_0\in[0,2][/tex].

Et c'est là que commence la dichotomie :
-Tu prends la valeur médiane de l'intervalle que l'on notera m=(a+b)/2.
-Tu calcules P(m).
-Si P(m)<0, alors tu te restreints à l'intervalle ]m,b].
Si P(m)>0, alors tu te restreints à l'intervalle [a,m[.
-Tu recommence avec le nouvel intervalle autant de fois que tu le souhaite.

Avec P(x) on obtient les intervalles suivants : [0,2] -> ]1,2] -> ]1.5,2] -> ]1.5,1.75[ -> ]1.5,1.625[ -> ]1.5625,1.625[ -> ]1.59375,1.625[ -> ]1.609375,1.625[ -> ]1.6171875,1.625[ -> ]1.6171875,1.62109375[ -> ]1.6171875,1.61914063[ -> ]1.6171875,1.61816407[ -> .....
On constate que l'intervalle se rapproche de plus en plus d'une valeur fixe, ici vers [tex]\varphi = \cfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618....[/tex]

Dernière modification par Guitout (08-08-2019 23:30:10)

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#3 09-08-2019 06:12:41

Volesprit
Membre
Inscription : 08-08-2019
Messages : 9

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Ok c'est plus clair et  pour ce qui est de la dichotomie je vois très bien, c'est ce que les S ont souvent en algorithme en interro ou au bac. Merci beaucoup pour ces éclaircissements.

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#4 09-08-2019 06:27:17

yannD
Membre
Inscription : 19-10-2018
Messages : 565

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Bonjour Volesprit,
Je passe en S et il faut que je commence à voir le programme en chimie, et il faut aussi que je révise en math, aussi j'aimerais savoir si les cours particuliers que tu proposes peuvent se faire à distance ?
J e  ne sais pas si j'ai le droit de poser ce type de question sur le forum puisqu'il y  va essentiellement de questions sur les maths, donc je retirerais ce message si la modérateur me le demande (mais il faut que je révise … )

Dernière modification par yannD (09-08-2019 07:04:02)

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#5 09-08-2019 09:27:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 417

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Bonjour,

Volesprit n'est pas venu sur ce forum pour recruter.
YannD, je te déconseille  de penser dès maintenant "cours particuliers", cela voudrait dire que dès maintenant tu penses avoir besoin systématiquement d'une béquille : fais-toi un peu confiance...
Des cours particuliers à distance, ça peut se concevoir par une sorte de videoconférence, via Skype ou WhatsApp, mais pour moi (et des cours particuliers j'en ai eu donnés) rien ne vaut la présence physique : elle permet d'apprécier une atmosphère, les expressions de visage, tout un tas de petites choses qui disparaîtraient en videoconférence...
En DS, vois-tu, je savais souvent, 5 min après avoir distribué les sujets, si mon DS avait été bien construit... ou pas.

D'autre part, les Forums consacrés existent en Physique-Chimie aussi.
Voilà en Python ce que donne un petit script très simple de recherche par dichotomie

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: UTF8 -*-

""" Recherche de la solution positive de l'équation x^2-x-1=0"""
""" Par dichotomie"""
a,b=0,2
while b-a>10**-6:
    m=(a+b)/2
    if m**2-m-1<0:
        a=m
    else:
        b=m

print (str(m)[0:8])

Seule la dernière ligne nécessite une explication :
je convertis le réel m en une chaîne de caractères et j'en extrais -de G à D) les 8 premiers (troncature), donc avec 6 décimales, vu que la précision est $10^{-6}$
Résultat affiché : 1.618033

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 09-08-2019 09:37:26

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 589

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Salut,

en clair, comme vient de l'illustrer Guitout, en maths, chaque terme utilisé a un sens précis. Donc n'hésite pas à rafraîchir régulièrement tes connaissances si tu veux éviter de dire un jour une ânerie à un de tes élèves :-) Si une telle mésaventure arrivait, corrige là dès que tu sais avoir dit une bêtise, nous ne sommes que des hommes, imparfaits par essence. Prends appui sur les livres de maths du lycée, c'est en général assez bien fait et pour le supérieur, consulte les ouvrages conseillés par les profs de fac, ils sont aussi souvent assez bien conçus. Pour le reste, reviens nous voir quand tu en as besoin, on devrait pouvoir t'aider !

Bon courage pour la suite !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#7 09-08-2019 10:19:47

Volesprit
Membre
Inscription : 08-08-2019
Messages : 9

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Je suis entièrement d'accord sur la présence physique, il n'y a rien de mieux et si je n'ai pas passé le CAPES il y a un peu plus de 20 ans, c'est aussi parce que je pense qu'en tête à tête pour certains élèves notamment ceux en difficultés il n'y a rien de mieux. Pour être tout à fait honnête, il y aussi que je ne supporte pas les "jeunes" en groupe (j'ai fait de la formation pour adultes en insertion et pour jeunes de "cité" sur Cergy). Dès qu'il y a plus de 3 "jeunes", je ne sais pas, ni n'ai envie de savoir d'ailleurs, les gérer, je laisse ça aux pros qui aiment ça!

En tout cas en présence physique, en groupe ou pas, tu sais vite si ça a percuté ou pas ou si tu t'es mal exprimé! Plusieurs de mes élèves ont eu entre 17 et 19,5 au bac en maths ces dernières années, alors que je les avais pour certains récupérés en dessous de la moyenne un ou deux ans avant. Il faut du temps et de l'attention, de l’honnêteté et de la patience. Ce que parfois les enseignants n'ont malheureusement pas les moyens matériels et temporels de mettre en place pour ce type d'élève en échec.
Ceci dit quand les parents m'appellent un mois avant le bac (ça arrive trop souvent) et que leur progéniture plafonne à 6 de moyenne, je les préviens qu'on va juste essayer de limiter la casse. Et que les lacunes accumulées toutes ses années ne se résorberont pas en un mois.

Et pour répondre à freddy, quand je ne sais pas faire ou expliquer ou quand j'ai un doute (ce qui est de plus en plus rare voire presque jamais avec le temps), je n’hésites pas à le dire à l'élève et à lui proposer qu'on regarde ça ensemble dans les bouquins ou le cours de son prof. Et on trouve la solution ensemble. Je trouve ça plus "pédagogue" et ça me rend humain et pas que "matheux", si vous voyez ce que je veux dire. Ça dédramatise les maths aussi dont certains se font une plus grosse montagne que nécessaire.
De toute façon, je ne leur fait faire que des exos de leurs bouquins ou des annales! Il n'y a selon moi rien de mieux. La partie empirique/théorique, je la laisse le plus souvent à l'enseignant pour me concentrer sur l'application en exercice. Je suis sur 3 ou 4 lycées et ils  n'ont pas les mêmes bouquins ce qui me permet en plus de varier les plaisirs. J'avais un gros doutes sur la bijection et j'ai trouvé le lieu idéal pour m'éclaircir sur ce point :)
Je pense que je vais probablement vous embêter sur python parce que je commence à regarder depuis 15 jours, ça reste encore un peu obscur! Je vais consulter les bulletins officiels pour savoir ce qui est attendu mais je préfère évidemment en savoir un peu plus que ce qui est demandé!

Merci de nouveau pour votre sollicitude en tout cas! Et je n'hésiterai pas à me tourner vers vous en cas de doutes! Bonne journée!

Dernière modification par Volesprit (09-08-2019 10:32:41)

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#8 09-08-2019 10:28:14

Volesprit
Membre
Inscription : 08-08-2019
Messages : 9

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

yannD attends de voir pour les cours! Ne passe pas en mode panique de suite, n'anticipes pas les difficultés qui ne sont pas encore là et fais toi confiance! Je suis entièrement d'accord avec yoshi! Et si vraiment tu estimes en avoir besoin, choisis bien ton prof particulier, renseignes toi autour de toi, il y en a surement des "connus" dans ton coin! Et préfères les contacts directs! Et tu as l'air d'avoir trouvé ici des oreilles attentives!
Juste un conseil: évites les boites à cours (acadomia, lauréat, etc..), tu paieras plus cher pour quelqu'un qui lui sera mal payé! Après ce n'est qu'un point de vue ça se discute!

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#9 09-08-2019 18:36:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 417

Re : Théorème des Valeurs Intermédiaires/Bijection/Dichotomie

Salut,

Python, tu verras, c'est un langage qui est clair même aux yeux des profanes...
As-tu déjà programmé ?
Une chose obligatoire en python, sinon rien ne marche, un mot-clé à inscrire devant son ordi : IN-DEN-TA-TION...
C'est ce décalage (4 espaces recommandées) qui permet de délimiter les blocs et à Python de savoir où ils commencent et où ils finissent.
(Regarde le script que j'ai posté et l'indentation tu la verras tout de suite).
Je serais ravi de t'aider à mettre le pied à l'étrier...

@+


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