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#1 01-08-2019 14:31:55
- Cartha
- Invité
Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Hello
je vais faire cours
Soit D := (x,y,z) tq x²+y²+z²<=1 et x²+y²+(z-1)²<=1
Entre autre l'intersection des deux boules fermées de rayon 1 et de centre (0,0,0) et (0,0,1)
Je cherche à calculer l'intégrale de f(x,y,z)=z sur D en passant par les coordonnées sphériques
x=rcos phi cos téta
y=rcos phi sin téta
z=rsin phi
phi etant l'angle par rapport a Oz et téta à Ox
On voit que le domaine est au final que deux portions de sphères symétriques par rapport au plan z=1/2
J'ai essayé de coupé les deux domaines en prenant 0<phi<2pi/6 et 2pi/3<phi<pi/2
mais je me retrouve a encadrer le rayon sur 0<r<1/2sin phi
bref je bloque completement sur la méthode heelp I need Somebooody
Merci de vos réponses !
#2 01-08-2019 16:16:33
- Guitout
- Membre
- Inscription : 18-05-2019
- Messages : 61
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Bonjour,
si tu fais un changement de coordonnées, tu dois modifier ton ensemble D en remplacent :
[tex]\begin{cases} x=r\sin(\varphi)\cos(\theta) \\ y=r\sin(\varphi)\sin(\theta) \\ z=r\cos(\varphi) \end{cases} [/tex], avec [tex]\begin{cases} r \in ]0,+\infty[ \\ \theta \in ]0,2\pi[ \\ \varphi \in ]0,\pi[ \end{cases}[/tex].
Tu as donc [tex]D:=\big\{ (x,y,z) \in \mathbb{R} \; | \; x^2+y^2+z^2 \leq 1 \; , \; x^2+y^2+(z-1)^2 \leq 1 \big\} [/tex] qui devient
[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \in ]0,+\infty[\times]0,2\pi[\times]0,\pi[ \; | \; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\varphi) \leq 1 \; , \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; r^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+r^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+(r\cos(\varphi)-1)^2 \leq 1 \big\}[/tex]
[tex]\dots \dots \dots[/tex]
[tex]\overline{D}:=\big\{ (r,\theta,\varphi) \; | \; a \leq r \leq b \; , \; c \leq \theta \leq d \; , \; e \leq \varphi \leq f \big\}[/tex]
(Je te laisse déterminer [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex], [tex]d[/tex], [tex]e[/tex] et [tex]f[/tex])
Dernière modification par Guitout (01-08-2019 21:43:35)
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#3 02-08-2019 02:42:29
- Carthapus
- Invité
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
78Yes c'est la ou je coince
la premiere equation donne r²<=1
la seconde on peut développer en r²-2rcosphi<=0
en faisant la seconde moins la premiere on a 2rcosphi>=1
Mais la j'encadre phi ? J'ai 0<r<1 avec la premiere equation du coup ?
Dans tous les cas téta n'intervient pas, 0<téta<2pi
#4 02-08-2019 09:54:43
- Guitout
- Membre
- Inscription : 18-05-2019
- Messages : 61
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Bonjour,
J'ai trouvé la même chose pour [tex]r[/tex] et effectivement on ne touche pas à [tex]\theta[/tex]
Pour encadrer [tex]\varphi[/tex], je te proposes ceci :
[tex]r^2-2r\cos(\varphi) \leq 0[/tex]
[tex]\iff r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0[/tex]
Tu sais que [tex]r \in ]0,1][/tex], donc [tex]r(r-2\cos(\varphi)) \leq 0 \implies r-2\cos(\varphi)\leq0[/tex]
[tex]\iff r\leq2\cos(\varphi) \iff \varphi \geq \arccos(\frac{r}{2}) [/tex]
Tu te retrouves donc avec les relations suivantes : [tex]\begin{cases} 0<\varphi<\pi \\ \arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi \end{cases}[/tex]
Comme [tex]0< r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2} \iff \frac{\pi}{2} > \arccos(\frac{r}{2}) \geq \frac{\pi}{3}[/tex], tu obtients l'encadrement suivant :
[tex]\boxed{\arccos(\frac{r}{2})\leq\varphi<\pi}[/tex]
Dernière modification par Guitout (02-08-2019 09:59:26)
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#5 02-08-2019 15:01:51
- Carthapus
- Invité
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Merci de ta réponse
On est d'accord pour téta et r
Donc si j'encadre arccos(r/2)≤φ<pi et que je pose mon intégrale j'obtiens,
J() = r²sinφ
Donc comme je voulais intégrer f() = z = r cosφ j'ai donc Int():r^3cosφsinφ
Je dois faire le changement sinφcosφ=sin(2φ)/2
En primitivant téta direct, puis φ je me retrouve avec
Pi/2(Int(0,1): r^3(cos(2Arccos(r/2)) - 1) dr
La je passe par le changement en cos(2x) = 2x² -1 ce qui donne 2(r/2)^2-1
Donc 2r^3(r^2/4 - 1)
Donc on a Pi(Int(0,1): (r^5)/4 -r^3 dr ?? Mais cette intégrale me donne un résultat négatif ( -5pi/24)
#6 02-08-2019 15:03:56
- Carthapus
- Invité
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
En fait j'ai peur de ne pas avoir pigé l'encadrement de Arccos(r/2)
Mon erreur de résultat négatif doit venir de la ?
#7 05-08-2019 10:23:00
- Guitout
- Membre
- Inscription : 18-05-2019
- Messages : 61
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Bonjour, j'ai également trouvé [tex]\frac{-5\pi}{24}[/tex]
Et pour l'encadrement de [tex]\arccos(r/2)[/tex], je vais essayer de développer un peu plus :
On a donc : [tex]0<r\leq1 \iff 0<\frac{r}{2}\leq\frac{1}{2}[/tex]
Maintenant j'applique la fonction [tex]\arccos()[/tex] à l'inégalité précédente : [tex]\arccos(0)>\arccos(\frac{r}{2})\geq\arccos({\frac{1}{2}})[/tex] (j'inverse les inégalités car [tex]\arccos()[/tex] est décroissante sur [tex][0,1][/tex])
Il nous reste donc : [tex]\frac{\pi}{2}>\arccos(\frac{r}{2})\geq\frac{\pi}{3}[/tex]
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#8 07-08-2019 13:45:28
- Carthapus
- Invité
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Héhé merci de ta réponse ^^
Heureux d'avoir le même résultat je pense qu'on est bon la dessus ^^
J'avais très bien compris la méthode pour encadré Arcos(r/2) la première fois (avec un ptit bug sur l'inversion des inéglités mais c'est ok ^^")
Nan ce que je me demande c'est pourquoi est-on "obligé?" de préciser l'encadrement de Arcos(r/2) en sachant qu'on a tout ce qu'il nous faut pour intégrer avec les bornes de nos variables d'intégration
Si Arccos(r/2) n'avait pas été dans l'ensemble Image entre 0 et Pi, qu'aurait-on fait ?
Il aurait fallu décomposé Phi vu que Arcos(r/2) <= Phi ?
#9 11-08-2019 15:14:13
- amekidelli80
- Membre
- Inscription : 11-08-2019
- Messages : 2
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
En fait j'ai peur de ne pas avoir pigé l'encadrement de Arccos(r/2)
Mon erreur de résultat négatif doit my ip birthday wishes tnebvenir de la ?
On voit que le domaine est au final que deux portions de sphères symétriques par rapport au plan z=1/2
Dernière modification par amekidelli80 (14-08-2019 18:15:23)
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#10 14-08-2019 16:00:49
- Carthapus
- Invité
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
Carthapus a écrit :En fait j'ai peur de ne pas avoir pigé l'encadrement de Arccos(r/2)
Mon erreur de résultat négatif doit venir de la ?On voit que le domaine est au final que deux portions de sphères symétriques par rapport au plan z=1/2
Par définition de D j'ai envie de dire oui en effet j'avais cette info dès le départ et on peut même dire que le cercle du plan z=1/2 a un rayon de sqrt(3)/2 et que les extremum des portions de sphère sur z sont 0 et 1 mais ça ne répond pas à ma question sur l'encadrement de Arccos(r/2) si ? :/
#11 06-09-2019 18:47:23
- ishoulita
- Membre
- Inscription : 02-09-2019
- Messages : 13
Re : Intégrale triple en coord. Sphrq. sur un Domaine donné
78Yes c Tutuapp 9Apps ShowBox est la ou je coince
la premiere equation donne r²<=1
la seconde on peut développer en r²-2rcosphi<=0en faisant la seconde moins la premiere on a 2rcosphi>=1
Mais la j'encadre phi ? J'ai 0<r<1 avec la premiere equation du coup ?
Dans tous les cas téta n'intervient pas, 0<téta<2pi
Entre autre l'intersection des deux boules fermées de rayon 1 et de centre (0,0,0) et (0,0,1)
Dernière modification par ishoulita (06-09-2019 19:52:49)
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