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#1 29-07-2019 23:57:01

Vrael
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Somme de coefficients binomiaux

Bonjour,
Je cherche à montrer l'égalité suivante :

[tex]{\sum_\limits{k=0}^{n}{(\frac{1}{2^{n+k}}\times{n+k\choose k})}}=1[/tex]

On m'a déjà fait une démonstration combinatoire mais j'avoue ne pas être très a l'aise avec celles-ci donc je me demandais s'il était possible d'en faire une calculatoire (sur laquelle j'ai totalement bloqué).

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#2 30-07-2019 10:27:44

aviateur
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Messages : 172

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour
Une solution simple à cet exercice consiste à voir que $C_{n+k}^k \times 1/2 ^k$ est le coefficient de $z^n$  dans le développement de $(z+1/2)^{n+k}.$
On est alors amener à montrer que le    coeff de $z^n$ dans  le polynôme
$\sum_{k=0}^n (z+1/2)^{n+k} =\sum_{k=n}^{2n}  (z+1/2)^k$ vaut [tex]2^n[/tex].
où encore  dans le polynôme $p(z)=\sum_{k=0}^{2n}  (z+1/2)^k $  (ce qui ne change rien puisque  j'ai ajouté un polynôme de degré inférieur à n).
Mais on a $p(z)=((z+1/2)^{2n+1}-1)/(z-1/2) $     (suite géométrique) 
et $1/(z-1/2)=-\sum_{j=0}^\infty 2^{j+1} z^j $  (quand la série est convergente, on peut raisonner avec les séries ou les Dl selon tes connaissances)
ainsi on cherche le coefficient de $z^n$ dans la développement de
$( (z+1/2)^{2n+1}-1)  \times  )\times -[\sum_{j=0}^\infty 2^{j+1} z^j]$

Celui qui vient du terme -1  vaut :   $2^{n+1} $
Celui qui vient du développement  de     $(z+1/2)^{2n+1}$
vaut $-\sum_{k=0} ^n  C_{2n+1}^k   1/2^{2*n+1-k} \times 2^{n-k+1}=-1/2^n  \sum_{k=0} ^n  C_{2n+1}^k =-1/2^n* 2^{ 2n}=-2^n$
Donc en tout cela fait $2^{n+1}-2 ^n=2 ^n.$  ce qu'il fallait démontrer.

Dernière modification par aviateur (30-07-2019 10:28:02)

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#3 30-07-2019 14:05:53

Vrael
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Messages : 5

Re : Somme de coefficients binomiaux

Merci beaucoup ! Encore une démonstration intéressante. Je suis pas sûr d'avoir encore saisi tout le détail des calculs mais j'y travaille. D'ailleurs que signifie DI ?

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#4 30-07-2019 16:52:09

aviateur
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Re : Somme de coefficients binomiaux

DL  = développement limité. 
En fait p(z) admet une autre écriture pour tout z différent de 1/2. 1/(z-1/2) tu peux le développer en série entière  (DSE) ou alors en faire un développement limité à tout ordre  en z=0.  (DL)
Pour cela on utilise la série géométrique  1/(1-u)=1+u+u^2+...   + u^n+...  (pour tout |u|<1 )
faire  1/(z-1/2)=-2/(1-2z)  et u=2z..... 

Finalement tu identifies p(z) avec  avec son DL ou son DSE.   ...


Cette démonstration n'utilise que des outils simples d'analyse.

Dernière modification par aviateur (30-07-2019 16:55:22)

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#5 30-07-2019 20:19:07

Vrael
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Messages : 5

Re : Somme de coefficients binomiaux

D'accord, merci de la précision. J'avais compris DI=di d'où ma confusion.

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#6 31-07-2019 17:38:36

aviateur
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Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour
Je suppose que ça tu connais?  $S=\sum_{k=0}^{2n+1}C _{2 n+1}^k=2^{2n+1}$     (faire (1+1)^(2 n+1) avec le binôme de N)
Et que $C _{2 n+1}^k=C _{2 n+1}^{2 n+1 -k}$

Donc $S=\sum_{k=0}^ n C _{2 n+1}^k+\sum_{k=n+1}^{2 n+1} C _{2 n+1}^{ 2 n+1-k}=2 \sum_{k=0}^ n C _{2 n+1}^k $
(en faisant un changement d'indice dans la deuxième somme)
...
Il y a une symétrie dans chaque ligne du triangle de Pascal que j'utilise ici.

Dernière modification par aviateur (31-07-2019 17:41:41)

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#7 31-07-2019 17:43:38

Vrael
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Inscription : 29-07-2019
Messages : 5

Re : Somme de coefficients binomiaux

Bonjour,
J'ai supprimé mon message à l'exact moment où tu y a répondu !
J'ai finalement trouvé une démonstration très semblable a celle que tu viens de donner.
Je peut donc considérer cette question comme résolue, merci pour tout.

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#8 31-07-2019 17:52:26

aviateur
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Re : Somme de coefficients binomiaux

Ok

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#9 04-08-2019 03:58:17

Deugard
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Messages : 36

Re : Somme de coefficients binomiaux

bonsoir,
voici une autre preuve calculatoire de l'égalité   $ \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2^{n+k}}.C_{n+k}^k = 1$  qui,
après avoir été multipliée par $2^{2n}$, devient :   $\sum\limits_{k=0}^n2^{n-k}.C_{n+k}^k = 2^{2n}$ ;
or  $2^{2n} = \sum\limits_{i=0}^{2n}C_{2n}^i$ , d'où :   $\sum\limits_{k=0}^{n-k}2^{n-k}.C_{n+k}^k = \sum\limits_{i=0}^{2n}C_{2n}^i$ ,  ce qui donne,
en éliminant le terme $C_{2n}^n$, puis en divisant par 2 (et tenant compte de $C_m^p=C_m^{m-p}$) :
$\sum\limits_{k=0}^{n-1}2^{n-k-1}.C_{n+k}^k = \sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{2n}^i$ .
Or on construit facilement, par itérations de la "récurrence triangulaire",
$(C_{m+1}^p=C_m^p+C_m^{p-1})$,à partir de $C_{m+1}^p$, et avec p<a<m, la formule :
$C_{m+1}^p = C_{m-a}^{m-a}.C_a^p+C_{m-a+1}^{m-a}.C_{a-1}^{p-1}+...+C_{m-a+p-1}^{m-a}.C_{a-p+1}^1+C_{m-a+p}^{m-a}.C_{a-p}^0$ .

On peut alors écrire :                                                             $C_{2n}^0 = C_{n-1}^{n-1}.C_n^0$ ,
                                                                      $C_{2n}^1 = C_{n-2}^{n-2}.C_{n+1}^1+C_{n-1}^{n-2}.C_n^0 $ ,
                                                $C_{2n}^2 = C_{n-3}^{n-3}.C_{n+2}^2+C_{n-2}^{n-3}.C_{n+1}^1+C_{n-1}^{n-3}.C_n^0$ ,
                                                .    .    .    .    .    .    .    .    .
$C_{2n}^{n-1} = C_0^0.C_{2n-1}^{n-1}+C_1^0.C_{2n-2}^{n-2}+...+C_{n-3}^0.C_{n+2}^2+C_{n-2}^0.C_{n+1}^1+C_{n-1}^0.C_n^0 $ , d'où :

$\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{2n}^i= C_{2n-1}^{n-1}\sum\limits_{i=0}^0C_0^i + C_{2n-2}^{n-2}\sum\limits_{i=0}^1C_1^i +...+C_{n+1}^1\sum\limits_{i=0}^{n-2}C_{n-2}^i + C_n^0\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i$
c'est-à-dire :  $\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{2n}^i = C_{2n-1}^{n-1}.2^0+C_{2n-2}^{n-2}.2^1+...+C_{n+1}^1.2^{n-2}+C_n^0.2^{n-1}$ , cqfd .

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