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#1 18-07-2019 10:39:02

Maenwe
Invité

Autres exemples de topologie R

Bonjour,
Je me demandais (après avoir fais quelques recherches bien entendu) si quelqu'un connaîtrais un autre exemple (intéressants) de topologie sur R ? Autre que la topologie usuelle et triviale bien entendu.

Cordialement

#2 28-07-2019 11:11:56

lekoue
Membre
Inscription : 21-09-2016
Messages : 26

Re : Autres exemples de topologie R

Bonjour Maenwe.

Si tu considère le sous ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ suivant:
$$\mathcal{T} = \{V\subset\mathbb{R}: \mathbb{R}-V \mbox{ est fini  ou } 0\not\in V\}$$

Alors tu peux montrer facilement que:

1) $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ est un espace topologique

Et les propriétés importantes suivantes pour une topologie:

2) $\mathbb{R}$ n'est pas connexe pour cette topologie (en remarquant que $\forall x\in \mathbb{R}-\{0\}$, les sous-ensembles $\{x\}$ et $\mathbb{R}-\{x\}$ sont des ouverts de $\mathbb{R}$ pour la topologie $\mathcal{T}$)

3) $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ est un espace de Hausdorff (remarque précédente également)

4) $\mathbb{R}$ est compact pour la topologie $\mathcal{T}$

NB: ci-dessus, $E-F$ se lit $E$ privé de $F$.

Hors ligne

#3 28-07-2019 11:33:29

lekoue
Membre
Inscription : 21-09-2016
Messages : 26

Re : Autres exemples de topologie R

Si tu considère également le sous ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ suivant:
$$\mathcal{F} = \{O\subset\mathbb{R}: O = \emptyset \mbox{ ou } \mathbb{R}-O \mbox{ est fini }\}$$

Alors tu peux montrer que:

1) $(\mathbb{R}, \mathcal{F})$ est un espace topologique

2) $\mathbb{R}$ est connexe pour cette topologie  $\mathcal{F}$

3) $(\mathbb{R}, \mathcal{F})$ n'est pas un espace de Hausdorff

4) $\mathbb{R}$ est compact pour la topologie $\mathcal{F}$ (En fait toutes les parties de $\mathbb{R}$ sont compactes pour cette topologie $\mathcal{F}$)

Hors ligne

#4 28-07-2019 17:17:06

Maenwe
Invité

Re : Autres exemples de topologie R

Bonsoir,

Merci beaucoup pour cette découverte !

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