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#1 18-07-2019 12:39:02
- Maenwe
- Invité
Autres exemples de topologie R
Bonjour,
Je me demandais (après avoir fais quelques recherches bien entendu) si quelqu'un connaîtrais un autre exemple (intéressants) de topologie sur R ? Autre que la topologie usuelle et triviale bien entendu.
Cordialement
#2 28-07-2019 13:11:56
- lekoue
- Membre
- Inscription : 21-09-2016
- Messages : 30
Re : Autres exemples de topologie R
Bonjour Maenwe.
Si tu considère le sous ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ suivant:
$$\mathcal{T} = \{V\subset\mathbb{R}: \mathbb{R}-V \mbox{ est fini ou } 0\not\in V\}$$
Alors tu peux montrer facilement que:
1) $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ est un espace topologique
Et les propriétés importantes suivantes pour une topologie:
2) $\mathbb{R}$ n'est pas connexe pour cette topologie (en remarquant que $\forall x\in \mathbb{R}-\{0\}$, les sous-ensembles $\{x\}$ et $\mathbb{R}-\{x\}$ sont des ouverts de $\mathbb{R}$ pour la topologie $\mathcal{T}$)
3) $(\mathbb{R}, \mathcal{T})$ est un espace de Hausdorff (remarque précédente également)
4) $\mathbb{R}$ est compact pour la topologie $\mathcal{T}$
NB: ci-dessus, $E-F$ se lit $E$ privé de $F$.
Hors ligne
#3 28-07-2019 13:33:29
- lekoue
- Membre
- Inscription : 21-09-2016
- Messages : 30
Re : Autres exemples de topologie R
Si tu considère également le sous ensemble de $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ suivant:
$$\mathcal{F} = \{O\subset\mathbb{R}: O = \emptyset \mbox{ ou } \mathbb{R}-O \mbox{ est fini }\}$$
Alors tu peux montrer que:
1) $(\mathbb{R}, \mathcal{F})$ est un espace topologique
2) $\mathbb{R}$ est connexe pour cette topologie $\mathcal{F}$
3) $(\mathbb{R}, \mathcal{F})$ n'est pas un espace de Hausdorff
4) $\mathbb{R}$ est compact pour la topologie $\mathcal{F}$ (En fait toutes les parties de $\mathbb{R}$ sont compactes pour cette topologie $\mathcal{F}$)
Hors ligne
#4 28-07-2019 19:17:06
- Maenwe
- Invité
Re : Autres exemples de topologie R
Bonsoir,
Merci beaucoup pour cette découverte !
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