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#1 25-07-2019 12:45:40

lidlkidjoe
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Changements de variables

Bonjour, je ne suis pas sûr de poster au bon endroit...

Voilà, je suis en dut gmp à la rentrée et je souhaite renforcer mon niveau en maths.

Je vais saisir le problème et vous montrer ce que j'ai fait :

[tex]\lim\limits_{x \to +\infty} \large( 1 + \frac{1}{x})^\sqrt{x}[/tex]

Je pose [tex]\large g(x) = ln(f(x))[/tex] soit :

[tex]\large g(x) = ln((1+\frac{1}{x})^\sqrt{x})\space =\space \sqrt{x}*ln(1+\frac{1}{x}) \space =\space \frac{1}{\sqrt{x}} * x*ln(1+\frac{1}{x})\\ =\space \large\frac{1}{\sqrt{x}}
* ln(1+\frac{1}{x})^x[/tex]

Voilà où je m'arrête... Je ne vois pas comment faire...
Merci d'avance pour toute information.
Cdt.

Dernière modification par lidlkidjoe (25-07-2019 14:04:17)

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#2 25-07-2019 13:24:49

Maenwe
Invité

Re : Changements de variables

Bonjour,

Avant de répondre quelques remarques sur les notations. Faites attention lorsque vous utilisez les parenthésage : [tex]ln(1+\frac{1}{x})^{\sqrt{x}}[/tex] veut pour moi dire [tex]ln(1+\frac{1}{x})[/tex] élevé à la puissance [tex]\sqrt{x}[/tex] et non pas le logarithme népérien appliqué à [tex]1+\frac{1}{x}[/tex] élevé à la puissance [tex]\sqrt{x}[/tex]. Pour faire simple il aurait été mieux d'écrire [tex]ln((1+\frac{1}{x})^{\sqrt{x}})[/tex]. Je dis ça parce que cela peut induire de (grosses) fautes de calculs parfois ;)

Si l'on ne connait pas la notion de négligeabilité pour les fonctions, écrire [tex]g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}xln(1+\frac{1}{x})[/tex] est une bonne idée, je te donne une inégalité pour que tu puisses continuer : [tex]\forall x>-1, ln(1+x) \le x[/tex] (c'est une inégalité connue et tu peux la vérifier assez aisément en utilisant la dérivation).

Cordialement

#3 25-07-2019 14:43:55

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Bonjour merci pour cette réponse, j'ai ajouté les parenthèses, j'avoue ne pas être super à l'aise avec tout se que je fais ( ça se voit... me direz-vous)
Je creuse depuis un moment et malgré vôtre aide, je n'arrive pas à avancer.
Si je reprends :

[tex]\large \frac{1}{\sqrt{x}} * x * ln(1+\frac{1}{x})[/tex]

Je tiens compte de l'inégalité que vous me donnez.
Alors je suis tenté de poser :

[tex]\large u = \frac{1}{x} \space\normalsize puis \space\large\frac{ln(1+u)}{u} [/tex]

Je me trouve donc avec une forme telle que celle de l'inégalité, seulement j'arrive à une FI du type [tex](0* +\infty)[/tex]
En supposant que je n'ai pas fais d'erreur en chemin...
Et je sais pas trop comment me servir de cette inégalité.

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#4 25-07-2019 15:43:03

Maenwe
Invité

Re : Changements de variables

L'inégalité que j'ai donné appliqué à ce cas donne : [tex]ln(1+\frac{1}{x}) \le \frac{1}{x}[/tex], et on peut se limiter à étudier cette fonction sur les réels strictement positifs. Ou si l'on utilise ton changement de variable on a [tex]ln(1+u) \le u[/tex]. Quelle inégalité obtiens tu au final avec g ?
Petite indication en plus, la fonction, g, que tu as définie est strictement positive sur les réels strictement positifs: [tex]\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, g(x) > 0[/tex]
Si ça n'aboutit toujours pas je donnerai la réponse ;)

#5 25-07-2019 16:22:12

Stu
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Re : Changements de variables

$\lim\limits_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x}\right)^\sqrt{x}$


$\left( 1 + \dfrac{1}{x}\right)^\sqrt{x}=\exp\left[\sqrt{x}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right]=\exp\left[\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{\ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}\right]$

On reconnait une limite remarquable...

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#6 25-07-2019 17:25:47

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Je vais continuer en tâtonnant...

Je dirais donc :

comme [tex]\large ln(1+\frac{1}{x})\le \frac{1}{x}[/tex]

Alors nous avons au plus :

[tex]\large g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} * x * \frac{1}{x} \space = \space \frac{1}{\sqrt{x}} * \frac{x}{x}\space = \frac{1}{\sqrt{x}}
\lim\limits_{x \to +\infty}g(x) = 0 [/tex]

et pour aller vite :
[tex]e(0) = 1  \space \lim\limits_{x \to +\infty} (1+\frac{1}{x})^\sqrt{x} = 1[/tex]

Décidément , je vais devoir cravacher un peu... Combien de bêtises ? Voire d'horreurs ?

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#7 25-07-2019 17:46:49

Stu
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Re : Changements de variables

$\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{\ln(1+y)}{y}=1$

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#8 25-07-2019 18:04:36

Maenwe
Invité

Re : Changements de variables

Alors tu as compris l'idée, maintenant il manque quelques arguments et il y a quelque chose de faux.
Ce que tu as faux c'est l'égalité avec g, ce n'est pas une égalité c'est une inégalité ;)
Ensuite, pour dire que g tend vers 0 en +l'infini il faut faire apparaître une autre égalité (celle dû à la positivité de g, j'en ai parlé dans mon dernier post), et l'argument à utiliser est "par convergence par encadrement" ou "d'après le théorème de convergence par encadrement".

Après vu que tu as écris "pour aller vite", je suppose que tu sais ce que tu fais, mais au cas où : ce que tu as fais est une composition de limite que tu peux faire sous certaine condition, si tu ne connais pas le théorème de composition des limites je te conseille aussi d'aller voir ce que c'est ;) Après je ne connais pas le niveau attendu dans un DUT.

C'était toute les argumentation nécessaire dans une copie, mais pas forcément au brouillon.

Enfin, Stu a raison, on reconnait une limite remarquable, et du coup donner la limite est très rapide à justifier. Il existe des méthodes plus rapide que la tienne pour avoir cette limite mais nécessite de connaître des limites de références...

NB : Fais attention quand tu utilises des changements de variable (ils ne sont pas faux ici, mais il peut arriver que certains changements de variable soient mesquin comme par exemple [tex]u = x^{2}[/tex], x peut très bien prendre des valeurs positive et négative mais pas u...) , c'est très pratique au brouillon mais si l'on a pas l'habitude de justifier un changement de variable cela peut être délicat à faire.

#9 25-07-2019 18:08:23

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Merci  du coup je peux me contenter de :

[tex]\large \frac{1}{\sqrt{x}}* \frac{(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}[/tex]

Comme il reste [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex]

Je trouve [tex]\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0[/tex]

Puis comme [tex]\lim\limits_{x \to + \infty} ln(f(x)) = 0 \Longrightarrow \lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = 1 [/tex]

Ce sera ça ?

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#10 25-07-2019 18:31:53

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Merci pour les infos , l'aide et votre temps. Je m'en vais apprendre les limites remarquables.
J'ai toujours du mal à trouver comment se compose une composée de fonction mais il semble qu'on soit assez libre si on respecte
les X de X' de X'' en gros. Au boulot.

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#11 25-07-2019 18:59:08

Stu
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Re : Changements de variables

Exactement apprendre ses limites remarquables, ou  avoir un formulaire à coté de soi pour débuter, c'est indispensable
Connaître le théorème des gendarmes qui se nomme aussi théorème d'encadrement ou théorème du sandwich.
Et également la formule du taux d'accroissement ( au cas où) et connaître ses dérivées.

Et ensuite faire les exercices.

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#12 25-07-2019 19:03:14

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

J'ai parfois des difficultés à utiliser correctement ou intelligemment les théorème.
Ce doit être le manque d'expérience.En tout cas c'est passionnant.
Merci encore.

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#13 26-07-2019 05:00:43

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Bonjour, je reviens avec de nouvelles questions.

Voici le problème :

[tex]\large f(x) = \frac{ e^{sin(x)} - 1}{x}\space  \lim\limits_{x \to 0}f(x) = ? [/tex]

Je pose : [tex]\large X = sin(x) \Rightarrow\space \large g(x) = \frac{ e^X - 1}{x} [/tex]

On reconnaît :

[tex]\large g(x) = \frac{ e^X - e^0}{x-0} = g'(0)[/tex]

Ici ça fonctionne, et la limite en 0 est bien [tex]\large (sin(x))' = cos(x) = 1\space si \space x \rightarrow 0[/tex]

Je me demande donc si ça fonctionne car  [tex]\large sin(x)\rightarrow 0 \space [/tex]quand[tex]\space\large  x\rightarrow 0[/tex]

Donc nous avons effectivement [tex]\large e^0 = 1[/tex] qui permet de remplacer le 1

Et pour finir, si nous avions :

[tex]\large h(x) = \frac{e^{cos(x)} - 1}{x}[/tex]

Ca ne marcherait pas car si on pose : [tex]\large X = cos(x) \Rightarrow \frac{e^X - e^1}{x - e}[/tex]et non [tex]\large \frac{e^X - e^0}{x - 0}[/tex] quand [tex] x \rightarrow 0[/tex] car [tex]\large cos(0) = 1 [/tex] et [tex]\large e^1 = e[/tex]

Et si je me trompe , nous aurions si on pose : [tex]\large X = cos(x) [/tex] alors [tex]\large h(x) = \frac{e^{cos(x)} - 1}{x}[/tex] donne bien [tex]\large \frac{e^X - e^0}{x - 0} = (cos(x))' = -sin(x) = - 1 [/tex]

Plus je réfléchis et plus j'ai l'impression de grave me planter ... j'en viens à me dire que j'ai [tex]\large(e^u)' \Rightarrow u'e^u\space[/tex]je devrais
donc avoir dans le dernier cas [tex](e^{cos(x)})' = -e\space[/tex] quand [tex]\large x\rightarrow 0[/tex]

J'espère être clair.

Merci d'avance.

Dernière modification par lidlkidjoe (26-07-2019 05:24:46)

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#14 26-07-2019 08:00:30

Maenwe
Invité

Re : Changements de variables

Bonjour,

C'est bien tenté malheureusement, ça ne marche pas, la première erreur qui fait que ça ne marche pas (pour la suite c'est raté du coup) c'est que ton g(x) réécris ne correspond pas exactement à un taux de variation donc faire sa limite ne donnera pas nécessairement une dérivée (d'ailleurs même si c'était le cas la dérivée serait celle de l'exponentielle en 0 autrement dit 1 mais pas la dérivée de g en 0 car le taux de variation (s'il était bon, autrement dit si tu avais aussi "un grand X" au dénominateur) est celui de l'exponentiel en 0 et non celui de g en 0 qui serait : [tex]\frac{g(x)-g(0)}{x}[/tex]). Et pour la nouvelle fonction (h) dont tu cherches la limite (d'ailleurs c'est très bien de tester sur des cas similaire pour voir ce que ça donne) avec ton changement de variable tu auras la même forme qu'avec le changement de variable sur f.

Sinon, pour la limite de f en 0, c'est en fait la dérivée d'une fonction composée : on pose [tex]u(x) = e^{x}[/tex] et [tex]v(x) = sin(x)[/tex], et f(x) est alors le taux de variation de [tex]u \circ v[/tex] en 0 : [tex]f(x) = \frac{(u \circ v)(x) - (u \circ v)(0)}{x-0}[/tex]. Le "rond" c'est pour écrire la composée de v par u : [tex](u \circ v)(x) = e^{sin(x)}[/tex]. Donc la limite de f en 0 est la dérivée de cette composée de fonction.
Et la dérivée d'une composée de fonctions c'est : [tex](u \circ v)' = v' \times (u' \circ v)[/tex].

Par ailleurs à moins erreur de ma part la limite de f en 0 est 1.

NB : tu n'avais pas besoin de renommer la fonction f, car en fait à moins que la fonction g dépendent de 2 variable (x et X) c'est la même que la fonction f, pourquoi ? Parce qu'en fait ton changement de variable X est une fonction déguisée qui dépend de x.

#15 26-07-2019 08:07:47

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Merci beaucoup pour ta réponse, je ne sais plus quoi faire...
Je pensais comprendre un peu puis je constate que je pige rien à ce que je fais...

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#16 26-07-2019 08:24:10

Maenwe
Invité

Re : Changements de variables

Tu sors de quelle classe ? (pour savoir à peu près ton niveau)
Cette limite n'est pas si simple à voir, c'est par expérience (je pense) qu'on l'a voit. De plus ne te décourage pas, ce genre de fautes ça peut arriver, et justement c'est en faisant des erreurs de ce genre que l'on comprend réellement quel genre d'objet on manipule, le tout c'est de ne pas ignorer ses erreurs et de les comprendre. Ne pas faire d'erreur peut signifier 2 choses, soit tu comprends tout du 1er coup soit tu es proche de faire des erreurs mais tu arrives à éviter d'en faire cependant tu ne comprends réellement ce que tu fais.
En gros ne te décourage pas, tu es sur la bonne voie.

#17 26-07-2019 08:39:55

lidlkidjoe
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Re : Changements de variables

Merci pour tes encouragements, j'ai quitté l'école en 2000 : Bep outillage/découpe. Je viens de faire un DAEU-B(2018/19).
Donc je rame, pas de passage par la case lycée plus jeune. Direction DUT GMP cette année alors je cherche à me blinder pour pas couler.

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