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#1 10-07-2019 11:53:45

rudel
Invité

Methode de calcul

Bonjour , je cherche une méthode scientifique qui permet de déduire le resultat de 2^2020 , combien de chiffres ce nombre peut posseder.

#2 10-07-2019 15:54:02

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 100

Re : Methode de calcul

Bonjour,

x = 2^2020

log(x) = 2020 * log(2) = 608,08...  (le log est ici décimal (base 10))

x = 10^(608,08...)

x = 10^0,08... * 10^608

x = 1,2... * 10^608

Et donc ...

Hors ligne

#3 12-07-2019 18:21:44

Maenwe
Invité

Re : Methode de calcul

Bonsoir,
Black Jack en dehors du nombre de décimal, qui s'obtient par exemple en utilisant le début de ta méthode ci-dessous, ça ne me semble pas très viable.
on cherche (le plus grand) entier naturel k tel que [tex]10^{k} \le 2^{2020} < 10^{k+1}[/tex] (ie. on cherche le nombre k de décimal de [tex]2^{2020}[/tex]).
On a donc en utilisant la stricte croissance du log et les inégalités précédentes : [tex]k \le 2020.log_{10}(2) < k+1[/tex] puis on remarque que k est la partie entière de [tex]2020.log_{10}(2)[/tex], donc [tex]k = \lfloor 2020.log_{10}(2) \rfloor[/tex], donc k = 608.

Pour revenir la méthode qu'utilise Black Jack, il ne me semble pas que log(2) soit un décimal... Donc il y a une approximation dans le résultat et de même pour "10^0,08...", à moins que je ne vois pas un truc, si on veut obtenir la vrai valeur de 2^2020 il faut déterminer de combien on approxime ce nombre (j'ai fait quelques calculs et si on on approxime [tex]2020.log_{10}(2)[/tex] à la k-ième décimale tel que la k+1-ième décimale de [tex]2020.log_{10}(2)[/tex] soit non nulle, on obtient un nouveau nombre y, et on a 2 inégalités : [tex]|2020.log_{10}(2)-y| \le y.|1 - 10^{10^{-(k+1)}}|[/tex] et [tex]2020.log_{10}(2) \le y[/tex]) pour passer le résultat final à la partie entière (après avoir obtenue une inégalité pour savoir si l'approximation est supérieur ou inférieur à [tex]2020.log_{10}(2)[/tex]) et obtenir le résultat voulue.

Cordialement

#4 12-07-2019 19:00:24

Maenwe
Invité

Re : Methode de calcul

J'ai fait une erreur en passant du papier à l'ordinateur, je rectifie :
[tex]|2^{2020}-y| \le y.|1-10^{10^{-(k+1)}}|[/tex] et [tex]2^{2020} \ge y[/tex]
Désolé  ^^

#5 13-07-2019 07:44:59

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 100

Re : Methode de calcul

Bonjour,

Je confirme la validité de la méthode que j'ai présentée en réponse à la question " combien de chiffres ce nombre possède-t-il ?"

Le reste est sans intérêt, si on voulait donner la valeur exacte de 2^2020 en décimal ... on devrait écrire les 609 chiffres qui le composent.

Un microseconde de réflexion montre que 2^2020 est un nombre entier et par là l'approximation x = 1,2... * 10^608 est alors suffisante pour dire que le nombre 2^2020 écrit en décimal comporte exactement 609 chiffres.

Hors ligne

#6 13-07-2019 09:30:07

Maenwe
Invité

Re : Methode de calcul

Bonjour,

Autant pour moi, j'avais mal compris à quoi répondait votre message, je pensais qu'il répondait aux deux question posés initialement ^^

Cordialement

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