Rang d'un endomorphisme nilpotent

ade · 28-06-2019 16:24:10

Bonjour .J'aimerais avoir votre aide ,J'ai essayé mais je n'ai pas pu .
Soit [tex]f [/tex] un endomorphisme nilpotent de [tex]E[/tex] de dimension [tex]n[/tex] d'indice de nilpotence [tex]p[/tex].Montrer que [tex]p-1\leq rg(f)[/tex]

Fred · 28-06-2019 17:26:47

Bonjour,

Puisque $f^{(p-1)}\neq 0$, il existe $x$ tel que $f^{(p-1)}(x)\neq 0$. Tu peux alors démontrer que $(f(x),\dots,f^{(p-1)}(x))$ est une famille libre de $\textrm{Im}(f)$ qui comprend au moins $p-1$ éléments.

F.

ade · 28-06-2019 21:56:55

Merci beaucoup, c'est exactement ce qu'il faut faire !

ade · 29-06-2019 09:11:50

Bonjour Mr Fred.Je reviens sur ma préoccupation d'hier.
On sait que par définition [tex]Im(f)[/tex]=[tex]\{f(x)/x \in E \}[/tex], Comment montrer que
[tex]Im(f)[/tex]= [tex]\{ x,f(x),f^2(x),.....,f^{p-1}(x) \}[/tex]

Fred · 30-06-2019 14:02:10

Je n’ai jamais dit que c’était égal !

ade · 30-06-2019 18:04:10

OK...Mon problème est à ce niveau ..
Je peux montrer que [tex]( f(x),.........f^{p-1}(x))[/tex] est une famille libre . Mais je n'arrive pas à montrer que c'est une famille libre de [tex]Im(f)[/tex] puisque je ne connais pas les éléments de [tex]Im(f)[/tex]
Aidez moi s'il vous plaît.

Fred · 30-06-2019 21:57:19

Les éléments de Im(f), ce sont les éléments qui s'écrivent f(...) !!! C'est bien le cas de $f(x),f^2(x)=f(f(x)),...$.

ade · 01-07-2019 08:30:52

C'est parfait, Merci Fred

ade · 01-07-2019 20:09:44

Bonjour, Je veux montrer aussi que [tex]rg(f)< n -1[/tex]
J'ai fait ceci :
f étant un endomorphisme de [tex]E[/tex] alors [tex]rg(f)\leq n [/tex]. On aura à montrer que [tex]rg(f)\neq n[/tex]
Je suppose que [tex]rg(f)=n [/tex] alors [tex]Im(f)=E[/tex] ainsi [tex]f [/tex] est surjective par suite [tex]f [/tex] est bijective puisque f est un endomorphisme en dimension finie.Il s'en suit que quelque soit [tex]p\in N[/tex], [tex]f^p[/tex] est bijective comme composition d'applications bijectives. Or [tex]f [/tex] est nilpotent d'indice [tex]p[/tex] donc il existe [tex]p \in N [/tex] tel que [tex]f^p=0[/tex] alors [tex]f^p[/tex] est non bijective ce qui contredit l'affirmation précédente donc [tex]rg(f)\neq n[/tex] d'où [tex]rg(f)<n-1[/tex].
J'aimerais demander es ce que ma preuve est correcte et s'il y a autre façon plus courte de faire cette démonstration.

Fred · 01-07-2019 20:39:59

Cela me semble bien ainsi.

F.

ade · 02-07-2019 08:01:41

OK '' Merci Fred

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Rang d'un endomorphisme nilpotent

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