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#1 28-06-2019 07:01:04

yannD
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f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour,

         Soit f(x)=(2x-1)/(x-1) pour  x ≠ 0

1. Déterminer deux réels a et b tel que pour tout x ≠ 0, f(x) = a + b /(x-1)
2. En déduire le tracé de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ avec pour unité graphique 1cm.
3. Soit ∆ la droite d'équation y = -x + 1.
a) Tracer ∆ dans le même graphique que $C_f$
b) Résoudre l'inéquation f(x) < (ou égal) -x+1
c) Interpréter graphiquement.

4. Pour tout m, on note $∆_m$  la droite d'équation y = x - m.
a) Que peut-on dire des droites $∆_m$ et ∆
b) Conjecturer le nombre de points communs à $C_f$ et $∆_m$

Voilà, j'ai trouvé cet exercice (niveau première) , je dois pouvoir le faire parce que la question 1 concerne la résolution d'une inéquation et je dois arrivé à un tableau de signe.

il y a un truc que je ne comprends c'est pourquoi on demande de trouver a et b
parce que j'ai essayé de faire ça et ça marche quand même
(2x-1)/(x-1) ≤ -x+1 <=> (2x-1)/(x-1) -(-x+1) ≤ 0 <=> (2x-1)/(x-1) + x - 1 ≤ 0
<=> (2x-1)/(x-1) + x(x-1) / (x - 1) - (x - 1) /(x - 1) ≤ 0
<=> (2x-1)/(x-1) + x² - x /(x-1) + (x-1)/(x-1) ≤ 0 <=> (2x-1 + x² - x + x - 1) /(x-1) ≤ 0
après simplifications des x et des 1 au numérateur , j'arrive à x²/(x-1) ≤ 0

Dernière modification par yannD (28-06-2019 07:06:15)

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#2 28-06-2019 09:01:46

Black Jack
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour,

Je présume que la demande de recherche de a et b ne sert que pour faciliter le tracé de Cf et pas pour le point 3 où la forme de f(x) =  a + b /(x-1) n'a pas d'intérêt.

arriver à x²/(x-1) <= 0 est juste ... mais ce n'est pas fini, cela doit te permettre de dire que (x-1) < 0 et que  donc x < 1

Remarque quand même : il y a un soucis dans le domaine de f, f n'existe pas pour x = 1 alors que l'énoncé annonce erronément " tout x ≠ 0 ...)

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#3 28-06-2019 14:46:09

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour, mais ce que  je ne comprends pas c'est qu'à la 2e question il faut en déduire de f(x) = a + b /(x-1) pour avoir le tracé
alors que j'y arrive quand même à partir de f(x) = (2x-1)(x-1)

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#4 28-06-2019 15:11:45

freddy
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

yannD a écrit :

Bonjour, mais ce que  je ne comprends pas c'est qu'à la 2e question il faut en déduire de f(x) = a + b /(x-1) pour avoir le tracé
alors que j'y arrive quand même à partir de f(x) = (2x-1)(x-1)

Salut,

car le tracé est alors plus simple. En effet, on a la somme d'une constante $y=a$ et d'une hyperbole d'équation $y=b/(x-1)$.
De fait, tu vois très vite comment se comporte la courbe.


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#5 28-06-2019 16:20:16

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Salut freddy, merci de m'avoir répondu.
A vrai dire , je ne comprends pas trop
Il s'agit d'un exercice (niveau première) et je l'ai pris pour avoir de l'avance, (j'aurais peut-etre pas dû...)
L'énoncé me dit que f(x)=(2x-1)/(x-1) , alors j'ai fait un tableau avec une dizaine de valeurs et j'ai tracé les 2 courbes
mais je ne vois pas en quoi c'est plus rapide avec a et b

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#6 28-06-2019 16:41:13

freddy
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Re,

étudie alors la fonction $f(x)=a+b/(x-1)$ pour $x \ne 1$ et regarde combien tu vas un poil plus vite avec moins de risque d'erreurs de calculs. A propos, combien valent $a$ et $b$ ? As tu une méthode pour y arriver facilement ?


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#7 28-06-2019 17:45:24

yoshi
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour,

@freddy. Bonne question compère...

$\dfrac{2x-1}{x-1}\leqslant -x+1$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+(x-1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{(x-1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1+x^2-2x+1}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{x^2}{x-1}\leqslant 0$

Bon c'est vrai, à partir de $f(x)=2+\dfrac{1}{x-1}$,
C'est un poil plus rapide et moins de calculs, mais pour moi, rien de fondamental :
$f(x)=2+\dfrac{1}{x-1}\leqslant -x+1$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{1}{x-1}+(x-1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{(x-1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{1+(x-1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-2+x^2-2x+2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{x^2}{x-1}\leqslant 0$

Alors pourquoi ?
1. Comme pour le patinage artistique, figure imposée ?!...
2. Pas sûr, que cet exo ait été donné dans le cas des nouveaux programmes...
    Les questions d'asymptote et de position de la courbe par rapport à l'asymptote c'était généralement avec une asymptote oblique...
    Ici, ce serait un peu académique quand même  et de toutes façons, ce sont des questions qui ne peuvent plus figurer dans les exos :
    les notions sont sorties des programmes...
    Restent les démos de limites...

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#8 28-06-2019 18:35:32

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour Yoshi,
Patinage artistique, avec cette chaleur . . .
c'est peut-être une bonne idée
Le sujet : je l'ai pris dans Cap mention 2011

Merci de m'avoir montré les calculs parce que à la 3e ligne j'ai enlevé la parenthèse et je ne sais pas si c'est bon aussi

(2x-1)/(x-1) ≤ -x + 1
<=>
(2x-1)/(x-1) - (-x+1) ≤ 0
<=>
(2x-1)/(x-1) + x - 1 ≤ 0
<=>
(2x-1)/(x-1) + x(x-1)/(x-1) - (x-1)/(x-1) ≤ 0

Dernière modification par yannD (28-06-2019 18:43:03)

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#9 28-06-2019 18:48:39

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

# 6 : je n'ai pas de méthode pour y arriver facilement

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#10 28-06-2019 19:24:49

yoshi
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Re,

$\dfrac{2x-1}{x-1} +\dfrac{x(x-1)}{x-1} - \dfrac{x-1}{x-1} \leqslant 0$
Mouais...
A mon sens, décomposer de cette façon, ce n'est pas prudent : c'est un coup à faire une faute de signe...
Ne crois-tu pas que calculer ainsi est largement plus simple :
$\dfrac{2x-1}{x-1} -(-x+1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+(x+1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{(x+1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1+(x+1)^2}{x-1}\leqslant 0$

Méthode classique standard qu'on t'apprendra :
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{a(x-1)+b}{x-1}$
$\Leftrightarrow$
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{ax-a+b}{x-1}$
$\Leftrightarrow$
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{ax+(-a+b)}{x-1}$
et :
$\dfrac{ax+(-a+b)}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}$
Et tu en déduis par Identification
$\begin{cases}a&=2\\-a+b&=-1\end{cases}$
La résolution du système te mène à  :
a=2  et b=1

Méthode valable qui nécessite d'être un peu "bricoleur"
Je cherche à faire apparaître le dénominateur au numérateur :
$\dfrac{2x-1}{x-1}$
S'il n'y avait pas le 2, il y serait déjà...
Donc je pense à :
$\dfrac{2(x-1)}{x-1}$
Mais 2x-2 ce n'est pas 2x-1 : il faut que je rajoute 1 et c'est bon :
$ 2x-2 + 1= 2x-1$
Donc :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+1}{x-1}$
On coupe la fraction en 2 :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$
On simplifie :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=2+\dfrac{1}{x-1}$

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#11 29-06-2019 08:14:31

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour Yoshi, je n'avais pas trouvé les valeurs de a et de b donc je n'avais pas compris que (2x - 1)/(x - 1) ça pouvait aussi s'écrire 2 + 1 /(x -1) et je ne comprenais pas le message # 6 de Freddy.
J'ai pris les valeurs -4 ; -3 ; -3 ; -2 ; -1 (je commence par ces valeurs quand je dois tracer une courbe) et il est vrai que c'est un peu plus long de faire comme calcul (2 * (-4)-1)/((-4) -1) , en revanche faire 2 + 1/((-4)-1) je peux le faire de tête .

Dernière modification par yannD (29-06-2019 08:16:12)

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#12 29-06-2019 15:53:56

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Salut yoshi, merci de m'avoir montré comment on passe de (2x-1)/(x-1) à 2(x-1)/(x-1)
j'aime bien la phrase clé -> je cherche à faire apparaitre le dénominateur au numérateur

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#13 30-06-2019 07:58:07

freddy
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

yannD a écrit :

# 6 : je n'ai pas de méthode pour y arriver facilement

Salut,

la méthode de yoshi est parfaite, sinon, il faut faire preuve d'imagination (ce que yoshi appelle sens du bricolage).
Par exemple, et c'est un grand classique en la matière, on calcule la limite en +l'infini des deux expressions ($x$ tend vers plus l'infini)e t on trouve immédiatement $a=2$.
Muni de cette information, on pose $x=0$ par exemple et on trouve $a-b=1$ et on déduit $b=1$.
La dernière méthode consiste à faire la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, mais c'est très en avance par rapport au programme, il faut attendre l'enseignement supérieur :-)


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#14 30-06-2019 12:14:43

yoshi
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonjour,

On retrouve aussi l'idée du procédé technique dans une problématique un peu différente :
Résoudre $6x^3-7x^2-x+2=0$
Là, il y a un premier obstacle à franchir : trouver une solution évidente (j'ai fait ce qu'il fallait pour que ça marche), en génétal -1, 0, 1 à quoi éventuellement on peut rajouter encore -2 et + 2...
On voit que 6-7-1+2 =0
Solution "évidente" : x=1
Donc le polynôme $6x^3-7x^2-x+2$ peut s'écrire sous la forme du produit de $(x-1)$ par un polynôme du 2nd degré :
$6x^3-7x^2-x+2=(x-1)(ax^2+bx+c)$
On développe le 2e membre :
$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c$
On réduit et on ordonne :
$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On a donc :
$6x^3-7x^2-x+2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On procède par Identification et on tombe sur le système :
$\begin{cases}a&=6\\b-a&=-7\\c-b&=-1\\-c&=2\end{cases}$
La résolution (facile) donne
$a=6,\;b=-1,\;c=$-2
Donc :
$6x^3-7x^2-x+2=(x-1)(6x^2-x-2)=0$
Et on est ramené à résoudre l'équation :
$6x^2-x-2=0$
qu'on sait résoudre déjà en 2nde (c'est pluuu_hs long à faire en 2nde qu'en 1ere)...

@+


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#15 05-07-2019 07:42:46

Zebulor
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

bonjour,
je m'immisce dans cette discussion ..juste une tite question : pour reprendre ce qu'écrit Black Jack et en relisant ces échanges, notre ami Yann est il bien conscient que pour [tex]x=1[/tex], [tex]f[/tex] n'existe pas ?

yannD a écrit :

J'ai pris les valeurs -4 ; -3 ; -3 ; -2 ; -1 (je commence par ces valeurs quand je dois tracer une courbe) et il est vrai que c'est un peu plus long de faire comme calcul (2 * (-4)-1)/((-4) -1) , en revanche faire 2 + 1/((-4)-1) je peux le faire de tête .

@YannD : Pourquoi pas ... mais je tracerais d'abord les asymptotes ( mais c'est notion que tu n'as peut être pas encore vue ?) [tex]x=1[/tex] et [tex]y=a=2[/tex]. Dans certains cas les courbes présentent des symétries ..
Il se pourrait que la courbe de [tex]f[/tex] soit la translatée de la fonction inverse... ce qui peut se démontrer..

Dernière modification par Zebulor (09-07-2019 14:19:46)

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#16 18-07-2019 17:40:08

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonsoir et merci à Yoshi, freddy et zebulor pour l'aide.
Zebulor : j'ai vu ton post mais je ne pouvais pas y répondre plus tôt , j'étais en vacances et n'avais pas la Wi-Fi.
et tu as raison pour x = 1, (je n'ai pas compris)

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#17 18-07-2019 18:55:50

yoshi
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Re,


$f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$
La domaine de définition de la fonction est $]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[$
Pourquoi exclure le 1 ? Parce que pour $x=1$, on aurait alors $x-1=0$ au dénominateur et que cela est interdit : on ne peut pas diviser par 0...

@+


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#18 19-07-2019 08:30:37

Zebulor
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

re,

yannD a écrit :

Zebulor : j'ai vu ton post mais je ne pouvais pas y répondre plus tôt , j'étais en vacances et n'avais pas la Wi-Fi.
et tu as raison pour x = 1, (je n'ai pas compris)

@YannD : Yoshi a achevé de t'éclaircir sur ce point. Tu as raison de profiter des vacances. Y a pas que les maths dans la vie !

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#19 20-07-2019 09:15:33

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Oui, je suis allé au Festival d'Aix en provence, j'ai fait des photos , je peux vous les communiquer si vous le voulez…
je reprends le sujet et je n'arrive pas à comprendre certains trucs, la question 1 demande de mettre sous la forme a + b/(x+1) afin d'avoir la somme d'une constante et d'une hyperbole, alors dans Geogebra , j'ai tapé  y = 2 et y = 1/(x-1) mais cela me donne une droite et une courbe

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#20 20-07-2019 09:17:15

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

je ne vois pas comment le tracé est facilité (comme l'explique Freddy au # 4)

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#21 20-07-2019 10:55:39

yoshi
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Salut

freddy a écrit :

car le tracé est alors plus simple. En effet, on a la somme d'une constante $y=a$ et d'une hyperbole d'équation $y=b/(x-1)$.
De fait, tu vois très vite comment se comporte la courbe.

Si tu lis attentivement, tu vois que freddy a écrit somme de $y =a$ et de $y=b/(x-1)$ ce qui ne veut pas dire de tracer les deux séparément...
Tu as donc l'équation :
$y=2+\dfrac{1}{x-1}$
Elle t'apprend quoi ?   
que
* soit l'ordonnée des points de la courbe est supérieure à 2 (pour x >1), donc les points au dessus de la droite  d'équation $y =2$
* soit l'ordonnée des points de la courbe est supérieure à 2 (pour x <1), donc les points au dessous de la droite  d'équation $y =2$
* jamais sur la droite : il faudrait que $\dfrac{1}{x-1}=0$ (ce qui est impossible).
T out ce qu'on peut dire c'est que
  - si x est positif et de plus en plus grand (on dit que x tend vers $+\infty$) alors la courbe d'équation $y=2+\dfrac{1}{x-1}$ se rapproche de la droite d'équation $ y =2 $ en restant au dessus
  - si x est de plus en plus petit (on dit que x tend vers $-\infty$) alors la courbe d'équation $y=2+\dfrac{1}{x-1}$ se rapproche de la droite d'équation $ y =2 $ en restant au dessous...

    De plus, comme x=1 est une valeur interdite,
    § lorsque x se rapproche de 1 par valeurs supérieures à 1 (on dit tend vers $1^+$) $\dfrac{1}{x-1}$ tend lui vers $+\infty$  : les points sont très près de la droite d'équation $x=1$ en restant à sa droite et très très au dessus de $y=2$
    § lorsque x se rapproche de 1 par valeurs inférieures à1 (on  dit tend vers $1^-$) $\dfrac{1}{x-1}$ tend lui vers $-\infty$  : les points sont très près de la droite d'équation $x=1$ en restant à sa gauche et très très au dessous de $y=2$

Or, tu sais que $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ est la fonction inverse qui se traduit par un graphique comportant deux branches...

Il ne t'étonnera donc pas ici que l'une des branches correspond à la zone x>1 et y>2 et l'autre x<1 et y<2.
Les programmes vont changer : on disait avant que les droites d'équation $x =1$  et $y =2$ étaient des asymptotes à la courbe...
Et voilà :
190720125742697197.png

@+


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#22 20-07-2019 17:11:28

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Salut Yoshi, je te demande pardon mais j'ai du mal à me remettre dans le travail et j'ai pas trop compris tout ce que tu as écrit.
Ça va 1 peu vite … .
J'ai ouvert Geogebra et j'ai commencé avec x = -7,
le calcul me donne 1 divisé par -8 auquel je retire 2
etc..

Dernière modification par yannD (20-07-2019 17:26:48)

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#23 21-07-2019 08:56:49

yoshi
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Bonour,

Conseils pour ton avenir : lire et relire encore...
Supposons y = 2+b où b est un réel...
Si b>0  alors y >2
Si b<0 alors  y < 2

Or j'ai $y = 2+\dfrac{1}{x-1}$ équation d'une courbe avec $M(x\,;\,y)$ les cordonnées d'un point quelconque de la courbe...
Dans $\dfrac{1}{x-1}$ x ne peut jamais valoir 0.
(La preuve : supposons x tel que $\dfrac{1}{x-1}=0$  alors on multiplie les deux membres par (x-1) non nul et on arrive à 1 = 0 impossible)
Donc y ne vaudra jamais 2 : l'ordonnée y de n'importe quel point de la courbe ne vaudra jamais 2.
Il n'existe aucun point de la courbe d'ordonnée 2. La courbe n'a aucun point d'intersection avec la droite d'équation y =2

Si x-1 >0 (donc si x >1), $\dfrac{1}{x-1}>2$ (*)
Tous les points de la courbe d'abscisses supérieures à 1 ont donc une ordonnée > 2.
Si x-1<0 (donc si x <1), $\dfrac{1}{x-1}<2$
Tous les points de la courbe d'abscisses inférieures à 1 ont donc une ordonnée < 2.

Et si tu résumes ce que tu appris jusque là :
la courbe comporte deux parties, l'une au dessus de la droite d'équation y=2, l'autre en dessous
De plus,
Si $x>1$ alors $y>2$
Si $x<1$ alors $y<2$
Alors
la partie de la courbe au dessus de y =2 est située à droite de la droite d'équation x=1
la partie de la courbe au dessous de y =2 est située à gauche de la droite d'équation x=1

Ce que montre le dessin de la courbe...

J'arrête là.
Je reviendrai après sur les limites en $1^+$ et $1^-$...

Questions ?

@+

[EDIT] (*)
YannD m'a fait remarquer son incompréhension pour :

Si x-1 >0 (donc si x >1), $\dfrac{1}{x-1}>2$
Tous les points de la courbe d'abscisses supérieures à 1 ont donc une ordonnée > 2.
Si x-1<0 (donc si x <1), $\dfrac{1}{x-1}<2$
Tous les points de la courbe d'abscisses inférieures à 1 ont donc une ordonnée < 2.

C'est vrai, j'aurais dû faire plus attention, mais chacun pouvait rectifier en voyant que je parlais de "la courbe"...
LA courbe ? Quelle courbe ? mais la courbe d'équation [tex]y=2+\dfrac{1}{x-1}[/tex], bien sûr !

J'aurais donc dû écrire :

Si x-1 >0 (donc si x >1), $2+\dfrac{1}{x-1}>2$
Tous les points de la courbe d'abscisses supérieures à 1 ont donc une ordonnée > 2.
Si x-1<0 (donc si x <1), $2+\dfrac{1}{x-1}<2$
Tous les points de la courbe d'abscisses inférieures à 1 ont donc une ordonnée < 2.

Dernière modification par yoshi (09-08-2019 08:40:01)


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#24 23-07-2019 17:01:16

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

Salut Yoshi, d'abord merci pour l'aide…
oui, il y a des questions ( beaucoup !!! )
ligne 7 : supposons x tel que 1/x-1=0

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#25 23-07-2019 17:02:21

yannD
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Re : f(x) = (2x-1)/(x-1)

supposons 1/(x-1) = 0
donc dans le cas où x = 1
c'est ça ?

Aussi , je voulais te dire vraiment merci parce que l'exercice que tu me proposes me plait beaucoup . . .
et j'ai le sentiment de beaucoup plus progressé avec la façon dont tu m'expliques

Dernière modification par yannD (23-07-2019 17:12:01)

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