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#1 21-05-2012 20:25:14

panolé
Membre
Inscription : 18-04-2011
Messages : 30

base de projecteurs

Bonjour, j'aimerai trouver une base de L(E) constituée de projecteurs avec E un R ev de dimension n>1.

Pour cela, je sais qu'une matrice de projecteur répond aux caractéristiques : rg=1, tr=1 et M²=M.

Ainsi, je peux déjà considerer toutes les matrices avec tous les coefficients égaux à 0 sauf sur le i-eme terme de la diagonale qui vaut 1. Cela me fait n possibilités et il me faut n² matrices pour former la base de L(E) qui est de dimension n².

Ensuite, on peut considerer tous les coefficients nuls sauf e_ii à qui l'on associe 1, et un vecteur e_k à qui l'on associe e_ii.

Mais mon problème est que je ne sais pas si cela est suffisant à trouver les n² matrices ou pas...
Pouvez vous m'aider?

Hors ligne

#2 24-05-2012 09:50:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Re : base de projecteurs

Salut,

  On peut raisonner en termes de matrices effectivement.
D'abord, ce que tu affirmes est faux : une matrice M d'application linéaires est une matrice de projecteurs si et seulement si M²=M.
Tes conditions sont plus précises et entrainent par exemple que tu t'intéresses aux projecteurs de rang 1.

On va noter [tex]E_{i,j}[/tex] les matrices élémentaires (un 1 sur la ième ligne et la jème colonne, des zéros ailleurs).

Ce que tu as déjà remarqué, c'est que [tex]E_{i,i}[/tex] est la matrice d'un projecteur. Considère maintenant [tex]j\neq i[/tex]
et pose [tex]M_{i,j}=E_{i,i}+E_{i,j}[/tex].

Il est facile de remarquer que [tex]M_{i,j}[/tex] est la matrice d'un projecteur. Maintenant, je te laisse prouver
qu'en regroupant les [tex]E_{i,i}[/tex] et les [tex]M_{i,j}[/tex], on obtient bien une base (tu peux déjà remarquer qu'on a bien [tex]n^2[/tex] éléments)

Fred.

Hors ligne

#3 27-05-2012 08:37:43

panolé
Membre
Inscription : 18-04-2011
Messages : 30

Re : base de projecteurs

Ah d'accord!!!

Après c'est tout simple, je montre que la famille des Ei,i et des Mi,j est libre, et comme elle possède le bon nombre de termes, cela forme une base!

Merci beaucoup !!

Hors ligne

#4 28-05-2012 10:46:52

panolé
Membre
Inscription : 18-04-2011
Messages : 30

Re : base de projecteurs

Ah mais en fait, c'est pas si simple de montrer que c'est libre...

Parce que j'ai essayé de faire la méthode avec la combinaison lineaire et on montre que tous les lambda=0 mais
je n'y arrive pas...

Est ce qu'on peut simplement dire directement que la famille génère toutes les matrices de L(E)? Et comme ça on a :
générateur + meme nombre d'élèments = base

Hors ligne

#5 26-06-2019 08:44:16

Pichou
Invité

Re : base de projecteurs

Il faut l'écrire et ça marche, tu as la somme des lambda(ij)Mij + somme des alpha(k)Eii = 0 les éléments non diagonaux des Mij vont annuler les lambda(ij) puis apres tu auras les alpha(k)=0

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