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#1 24-06-2019 10:18:33

fida
Invité

sous-suite divergente

Bonjour,

soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle non majorée. Prouver qu'elle admet une sous-suite tendant vers $
+\infty$

Par hypothèse $\forall y \in \mathbb{R},\exists n \in \mathbb{N};u_n>y.$
Alors si on définit $\phi$ par $\phi(0)=n_0$ (pour $y=0$) et $\phi(n+1)=inf(p \in \mathbb{N};u_p>max(n+1,u_{\phi(n)}))$ pour $n \in \mathbb{N}$

On aura $u_{\phi(n)}>n$ et $\phi(n+1) \neq \phi(n)$

Comment vérifier que $\phi$ est strictement croissante ($\phi(n+1)>\phi(n)$) ?

Merci

#2 24-06-2019 20:24:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Re : sous-suite divergente

Bonsoir,

  Tu peux imaginer faire une preuve par récurrence,
en utilisant le fait que, si tu notes $A_n=\{p: u_p>\max(n+1,u_{\phi(n)}\}$, alors $A_{n}\subset A_{n-1}$ (c'est l'hypothèse de récurrence qui te le dit), et donc $\inf(A_n)\geq \inf(A_{n-1})$.

F.

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