Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bigben

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fermé borné

bonjour, messieurs dames , je suis nouveau et je ne sais pas encore si je suis au bon endroit
voila mon problème : dans un espace métrique E, si un sous ensemble est compact alors il est fermé borné. La réciproque est-elle vraie ? Pour des espaces vectoriels normés, je sais que ca dépend de la dimension , mais si c'est un espace métrique "quelconque" sans structure algébrique et donc de dimension, comment fait -on ? Doit-on n'utiliser que la définition avec les recouvrements ?

cordialement,

bigben

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Re : fermé borné

re bonjour
je me réponds à moi même , en fait dans un espace métrique "quelconque" , la notion de borné n'existe pas ,je pense : la distance est un indicateur entre 2 éléments , et non en un seul . donc "fermé borné"  ne peut être que dans des evn. Est ce que ce raisonnement est correct ?

cordialement,

Fred

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Re : fermé borné

Bonjour,

  Si, si, la notion de partie bornée a un sens dans les espaces métriques : une partie $A$ de $E$ est bornée s'il existe un réel $M$ tel que $d(x,y)\leq M$ pour tout $x,y$ de $A$.

Concernant ta question, un compact de $E$ est toujours fermé et borné. La réciproque est fausse et dépend vraiment de ton espace métrique. En revanche, dans un espace métrique, tu peux toujours définir la compacité en utilisant la propriété de Bolzano-Weierstrass.

F.