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#1 06-06-2019 10:08:49

starkrye
Invité

demo : espace compact ssi complet et precompact

Bonjour,

Pour la réciproque de la démonstration j'ai envie de prendre une suite $(x_n)$ de X (complet et précompact), de choisir un $\epsilon > 0$. On sait que X est précompact donc $\forall \alpha > 0 \exists$ une famille finie de $(U_i)_{i<k}$ qui recouvre X.

Donc on pose$ \alpha = \frac{\epsilon}{diamètre(U_i)}$; le diamètre existe car c'est une famille finie d'ouverts;

Donc $\forall n \in N \exists i < k, x_n \in U_i$. Donc $\forall n \in N$ et $p > 0$, $d(x_n,x_{n+p})< \epsilon$. Donc$ (x_n)$ est de caucgy dans un expace complet.

J'ai l'impression que ça marche mais je sais que c'est faux, je ne vois pas l'erreur. Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci :)

#2 11-06-2019 07:16:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 624

Re : demo : espace compact ssi complet et precompact

Bonjour,

  IL y a quelque chose qui ne va pas dans l'enchaînement :
1. Pour tout $\alpha>0$, il existe une famille $(U_i)$ qui recouvre $X$ (quel rapport avec $\alpha$?).
2. Puis on pose $\alpha=\cdots$.

Qui est défini avant? $\alpha$ ou la famille $(U_i)$???

F.

Hors ligne

#3 11-06-2019 09:01:04

Starkrye
Invité

Re : demo : espace compact ssi complet et precompact

Bonjour,

Je pose en fait alpha qui depend des Ui alors que les Ui sont construits a partir des alpha ! :) Merci piur la reponse !

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