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JohnSmith

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Problème dans la preuve du thm de continuité des suites de fonctions.

Bonjour !

Afin de mieux assimiler et revoir la notion de convergence uniforme que je trouve assez délicate , j'essaye d'assimiler les démonstrations des théorèmes clefs du cours des suites et séries de fonctions. Cependant dans la preuve du théorème sur la continuité de la fonction limite, je ne comprends pas bien à quel moment on utilise le fait que la fonction converge uniformément ...

Voilà donc une (fausse) preuve du théorème et j'aimerais bien savoir où se situe l'erreur...

Merci d'avance à toutes et tous de votre aide et de votre indulgence face aux âneries que j'ai possiblement écrites !

  Soit [tex]  f_{n} [/tex] une suite de fonctions de [tex]\mathbb{R}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex] définie sur un intevalle I.
On suppose de plus qu'elle converge simplement sur I vers une fonction [tex]f[/tex].
On suppose également que les fonctions [tex]f_{n}[/tex] sont toutes continues sur I.

  On veut montrer que [tex]f[/tex] est continue , soit [tex] x_{0}[/tex] dans I et soit [tex]\epsilon > 0 [/tex]. On sait que [tex]f_{n}[/tex] converge simplement vers [tex]f[/tex] donc [tex]|f(x) - f_{n}(x)|< \frac{\epsilon}{3}[/tex]  à partir d'un certain rang N' et [tex]|f_{n}(x_{0}) - f(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3}[/tex]  à partir d'un autre rang N''.
Posons N=max(N',N'').
On a [tex]|f(x) - f(x_{0})|=|f(x) - f_{N}(x) + f_{N}(x) - f_{N}(x_{0}) + f_{N}(x_{0}) - f(x_{0}) |[/tex]
(avec N qui dépend de [tex]x[/tex] et de [tex]x_{0}[/tex] peut-être est-ce ici que la "preuve" est branlante) donc par inégalité triangulaire on a : [tex]|f(x) - f(x_{0})|< |f(x) - f_{N}(x)| + |f_{N}(x) - f_{N}(x_{0})| +  |f_{N}(x_{0}) - f(x_{0}) |[/tex]
donc par construction de N : [tex]|f(x) - f(x_{0})|< \frac{2\epsilon}{3}+ |f_{N}(x) - f_{N}(x_{0})| [/tex]
Or on a supposé que les fonctions [tex]f_{n}[/tex] sont continues donc pour [tex]|x-x_{0}|<\delta [/tex] on a bien [tex] |f_{N}(x) - f_{N}(x_{0})|<\frac{\epsilon}{3} [/tex].
On aurait donc bien [tex]|f(x) - f(x_{0})|<\epsilon [/tex]  pour  [tex] |x-x_{0}|<\delta [/tex] ce qui est absurde car la convergence simple ne garantie pas du tout la continuité de la fonction limite même pour une suite de fonctions toutes continues...

Merci d'avoir lu jusque là , j'espère que quelqu'un trouvera une erreur de raisonnement !

Fred

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Re : Problème dans la preuve du thm de continuité des suites de fonctions.

Bonjour,

  Oui, c'est bien dans le fait que $N$ dépend de $x$ et de $x_0$ que la preuve est branlante. En fait, si on suit ton choix de quantificateurs :
1. Tu fixes $\varepsilon>0$, $x_0$ dans $I$. Cela te donne $N''$.
2. Puis tu fixes $x$ pour obtenir $N'$, donc $N$.
3. Tu dis ensuite que $f_N$ est continue, qui donne l'existence de $\delta$.

Oui, mais tu ne peux plus faire varier $x$, puisque celui-ci a été fixé pour définir $N$.

F.

JohnSmith

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Re : Problème dans la preuve du thm de continuité des suites de fonctions.

Bonjour,

Merci beaucoup de votre réponse rapide.