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#1 29-10-2007 11:47:11

Antoine
Membre
Inscription : 25-10-2005
Messages : 52

impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

Boujour
Pouvez vous m'aider à résoudre mon problème

Je dois déterminer dans la domaine de Laplace la fonction suivante :

f(t) = d(a*t + b)

où d est l'impulsion de unité de Dirac

Merci d'avance

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#2 29-10-2007 13:29:44

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

Hello,
On cherche d'abord où est située l'impulsion dans le temps...
at + b = 0 => t = -b/a
Sachant que d(t) --> 1
On a simplement F(p) = 1 retardé de -b/a
soit F(p) = exp(p.b/a) où p est la variables de Laplace.
Sauf erreur mais je vais essayer de vérifier car j'ai un doute sur le paramètre a du terme at + b.
A+

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#3 29-10-2007 15:23:38

Antoine
Membre
Inscription : 25-10-2005
Messages : 52

Re : impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

j'ai fait le calcul avec l'integrale et je trouve le meme résultat.

Merci beaucoup

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#4 29-10-2007 15:27:02

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

re,
oui, je me suis planté et j'espère qu'Antoine reviendra.
Il faut ensuite faire un changement d'échelle de temps :
F(p) = (1/a).exp(b.p/a²)
Sauf nouvelle erreur (car tout ceci commence à ne plus être très frais).
A+

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#5 29-10-2007 16:41:02

Antoine
Membre
Inscription : 25-10-2005
Messages : 52

Re : impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

J'aimerais savoir comment tu fais le calcul, s'il te plait.

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#6 29-10-2007 17:59:04

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

Par paresse, je n'ai pas fait le calcul direct. J'applique simplement la formule du retard puis la formule de changement d'échelle. Mais j'aurais plus confiance dans un calcul direct. Si j'ai un peu de temps je vérifierai.
A+

Dernière modification par john (29-10-2007 18:02:11)

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#7 30-10-2007 19:37:24

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : impulsion de dirac dans le domaine de Laplace [Résolu]

Hello,

Calcul direct
f(t) = D(a.t + b)

Par définition de la transformée de f(t) :
F(p) = S(0..+oo) [exp(-p.t).D(a.t + b).dt]

On exprime le terme entre crochets avec la variable u :
u = a.t + b (avec a>0)
dt = (1/a).du
t = (u - b)/a
t = 0 => u = b
t = +oo => u = +oo

F(p) = S(0..+oo) [exp(-p.t).D(a.t + b).dt]
= S(b..+oo) [exp(-p.(u - b)/a).D(u).(1/a).du]
= (1/a).exp(p.b/a).S(b..+oo) [exp(-p.u/a).D(u).du]

Cette intégrale est nulle si b>0.
Sinon, on a :
F(p) = (1/a).exp(p.b/a).

Ce qui démontre une fois de plus que john ne recule devant rien : 3 résultats différents pour une toute petite transformée... pas maaal !
Merci Antoine pour la petite révision, cela s'imposait.
Bye

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