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#1 07-06-2019 19:02:41

AloWarZ
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Intégrale qui me semble impossible à calculer

Bonjour,
J'ai récemment eu un partiel d'Intégration et je suis tombé sur cette intégrale :

$\int_0^1\left(\int_y^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy$

J'utilise donc Fubini puis j'ai :

$\int_y^1\left(\int_0^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_y^1 x^{-3/2}\left(\int_0^1  \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_y^1 x^{-3/2} \left[\frac{2x}{\pi} \sin\left(\frac{\pi y}{2x}\right)\right]^{1}_{0}\mathrm dx = \int_y^1 \frac{2x^{-1/2}}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2x}\right)\mathrm dx$

Sauf que là je bloque, je ne vois absolument pas comment calculer ça.

Pouvez vous m'indiquer quoi faire si il existe une solution?
Merci

Dernière modification par AloWarZ (08-06-2019 01:00:39)

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#2 07-06-2019 21:23:57

Guitout
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Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Bonjour,

Normalement tu ne doit plus avoir de [tex]y[/tex] après avoir appliqué Fubini.

Dernière modification par Guitout (07-06-2019 21:27:14)

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#3 08-06-2019 00:59:08

AloWarZ
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Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Oui pardon j'ai plutôt ça après

$\int_y^1 \frac{2x^{-1/2}}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2x} \right) \mathrm dx  $

Du coup une idée?

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#4 08-06-2019 08:48:10

Guitout
Membre
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Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Tu as le choix entre un changement de variable ou une intégration par partie (IPP).
Vu ton intégrale, j'opterais pour une IPP.

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#5 08-06-2019 17:39:10

AloWarZ
Membre
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Messages : 8

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Je prend $I=\int_y^1 \frac{2x^{-1/2}}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2x} \right) \mathrm dx$

en prenant :
$u'=x^{-1/2}$ et $v=\sin \left(\frac{\pi}{2x}\right)$
J'ai :
$u=-2\sqrt{x}$ et $v'=-\frac{\pi}{2x^{2}}\cos \left(\frac{\pi}{2x}\right)$
Puis IPP:
$\frac{\pi}{2}I=\left[uv\right]^{1}_{y}-\int_y^1uv' \mathrm dx=2\sqrt{y}\sin\left(\frac{\pi}{2y} \right)-2-\int_y^1\pi x^{-3/2}\cos \left(\frac{\pi}{2x}\right)$

J'ai pas l'impression que c'est possible en IPP puisque la puissance de $x$ n'est pas un entier.

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#6 08-06-2019 20:36:56

Guitout
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Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Si [tex]u'=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex], alors [tex]u=2\sqrt{x}[/tex].

Donc [tex]\frac{\pi}{2}I=2-2\sqrt{y}\sin(\frac{\pi}{2y})+\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\frac{\pi}{2x}) \; dx[/tex]

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#7 09-06-2019 13:57:12

Guitout
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Messages : 36

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Bonjour, alors j'ai essayer un truc, je sais pas si c'est acceptable, je ne sais pas si ça marche mais j'essaie quand même.

[tex]\frac{\pi}{2}I=2-2\sqrt{y}\sin(\cfrac{\pi}{2y})+\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\cfrac{\pi}{2x}) \; dx[/tex].

On sais que [tex]\cos(\theta)=\cfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\mathfrak{Re}(\cfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2})[/tex]

Donc [tex]\cos(\cfrac{\pi}{2x})=\mathfrak{Re}(\cfrac{e^{i\frac{\pi}{2x}}+e^{-i\frac{\pi}{2x}}}{2})=\mathfrak{Re}(\cfrac{(e^{i\pi})^{\frac{1}{2x}}+(e^{-i\pi})^{\frac{1}{2x}}}{2})=\mathfrak{Re}(i^\frac{1}{x})[/tex].

Ce qui donne [tex]\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\cfrac{\pi}{2x}) \; dx= \pi\mathfrak{Re}\Big(\int_y^1 \cfrac{e^{\frac{1}{x}\ln(i)}}{\sqrt{x}^3} \; dx\Big)[/tex]

Voila Voila ...
Après je sèche, je pense ne pas avoir les connaissances suffisantes pour continuer.

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#8 10-06-2019 01:50:14

AloWarZ
Membre
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Messages : 8

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Ouais c'est bizarre, j'ai eu cette intégrale à un rattrapage de L3 math et j'ai l'impression qu'elle est niveau master ou plus. Sinon merci quand même de m'avoir aidé :)

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#9 10-06-2019 07:10:46

extrazlove
Invité

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

non même pas c'est juste un piège vous pouvez changer la place de l'intégrale et les dx et dy pour calculer intégral facilement.

#10 10-06-2019 08:58:58

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 713

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Bonjour,

Une fois n'est pas coutume, je pense qu'extrazlove a raison !!!
Ca me semble assez simple en faisant correctement l'inversion de l'ordre d'intégration.
En fait, il s'agit d'une intégrale d'une fonction de 2 variables $(x,y)$, à l'intérieur du triangle $\mathcal T = OAB$ où $A=(1,0) et $B=(1,1)$.

En écrivant $\displaystyle \int_{\mathcal{T}} ... dxdy = \int_0^1 \Big( \int_y^1 ... dx \Big) dy = \int_0^1 \Big( \int_0^x ... dy \Big) dx$, j'ai l'impression que tout devient plus simple...

Roro.

Dernière modification par Roro (10-06-2019 08:59:26)

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#11 10-06-2019 09:42:03

freddy
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Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

AloWarZ a écrit :

Bonjour,
J'ai récemment eu un partiel d'Intégration et je suis tombé sur cette intégrale :

$\int_0^1\left(\int_y^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy$

J'utilise donc Fubini puis j'ai :

$\int_y^1\left(\int_0^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_y^1 x^{-3/2}\left(\int_0^1  \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_y^1 x^{-3/2} \left[\frac{2x}{\pi} \sin\left(\frac{\pi y}{2x}\right)\right]^{1}_{0}\mathrm dx = \int_y^1 \frac{2x^{-1/2}}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2x}\right)\mathrm dx$

Sauf que là je bloque, je ne vois absolument pas comment calculer ça.

Pouvez vous m'indiquer quoi faire si il existe une solution?
Merci

Salut,

je pense que c'est déjà fait !


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#12 10-06-2019 12:02:03

AloWarZ
Membre
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Messages : 8

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Effectivement j'ai déjà appliqué Fubini comme dit au départ

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#13 14-06-2019 13:10:24

AloWarZ
Membre
Inscription : 25-01-2019
Messages : 8

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

La réponse était toute bête :

$\int_0^1\left(\int_y^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy=\int_0^x\left(\int_0^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy$

Puis Fubini :

$\int_0^1 x^{-3/2}\int_0^x \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\mathrm dx = \int_0^1 x^{-3/2}\left[\frac{2x}{\pi }\sin{\left(\frac{\pi y}{2x}\right)}\right]^{y=x}_{y=0}\mathrm dx = \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm dx = \frac{2}{\pi} \left[2\sqrt{x}\right]^{x=1}_{x=0} = \frac{4}{\pi}$

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#14 15-06-2019 11:09:15

Osud
Invité

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Exact, c'est la bonne réponse (en tout cas confirmée par worframalpha), problème résolu.

#15 18-06-2019 14:32:40

Extrazlove
Invité

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

La c'est un intégrale difficile à calculez si en remarque pas une chose qui facilite le calcul de ce intégrale si mais souvenir son bon c'est un intégral à niveau Master
Intégral de +infini à- infini de exp(-x^2)
=racine (pi/2) si mes souvenir son bon.

#16 18-06-2019 16:28:33

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 590

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Extrazlove a écrit :

La c'est un intégrale difficile à calculez si en remarque pas une chose qui facilite le calcul de ce intégrale si mais souvenir son bon c'est un intégral à niveau Master
Intégral de +infini à- infini de exp(-x^2)
=racine (pi/2) si mes souvenir son bon.

Tu es sûr de toi ? Je ne vois pas dans l'intégrale d'exponentielle ...


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

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#17 18-06-2019 18:29:57

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 13 440

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Re,

Souvenirs pas bons  : $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\;dx=\sqrt{\pi}$
Mais ce n'est pas si mal.

Source : Wolfram  Alpha

N-B : je me prononce pas sur la proposition disant que le calcul soumis se ramène à celui de $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\;dx$

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#18 18-06-2019 19:03:08

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 713

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Bonsoir,

C'est dommage d'avoir transformé ce post à tel point qu'on ne voit plus trop ni la question, ni la réponse :

Question : post 1
Indication : post 10
Réponse : post 13

La suite (et pas mal de trucs avant) n'apporte rien à cette question qui est une application directe et assez simple de Fubini...

En particulier le lien avec $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx$ (qui est plutôt du niveau Licence puisque ça se calcule habituellement en utilisant $\int_{\mathbb R^2} \mathrm e^{-(x^2+y^2)} \mathrm dx\mathrm dy$ et les coordonnées polaires), ne me semble pas utile...

Roro.

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#19 21-06-2019 23:31:19

mopakarim6000
Membre
Inscription : 21-06-2019
Messages : 2

Re : Intégrale qui me semble impossible à calculer

Extrazlove a écrit :

La c'est un intégrale difficile à calculez si en remarque pas une chose qui facilite le calcul de ce intégrale si mais souvenir son bon c'est un intégral à niveau Master
Intégral de +infini à- infini de exp(-x^2)Brazzers Youporn Xhamster
=racine (pi/2) si mes souvenir son bon.

Bonjour,

Normalement tu ne doit plus avoir de
y
après avoir appliqué Fubini.

Dernière modification par mopakarim6000 (24-06-2019 19:46:16)

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