Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 31-05-2019 17:18:32

Vanille
Membre
Inscription : 31-12-2018
Messages : 57

Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Bonjour,
Le paradoxe de Saint-Petersbourg consiste à déterminer quelle somme d'argent un homme est prêt à dépenser pour un jeu d'argent.
Dans un premier temps, les théoriciens ont pensé que la solution était de calculer l'espérance du gain, mais ça ne collait pas.

Bernouilli montra qu'il ne fallait pas calculer l'espérance du gain, mais l'espérance de l'utilité de gain, l'utilité marginale du gain étant décroissante.

Ce que je n'ai pas compris c'est la fin de la résolution de ce paradoxe.

En effet une fois qu'on a trouvé E[U(G)], espérance de l'utilité du gain pour le jeu considéré, il semble qu'il faut déterminer G pour répondre à la question "quelle somme d'argent un homme est prêt à dépenser pour un jeu d'argent".
Cette réponse est contre intuitive pour moi, car j'aurais pensé qu'il serait prêt à payer E[U(G)] pour ce jeu et non G ..

Pourriez-vous m'expliquer pourquoi c'est G ?

Merci pour votre attention.

Hors ligne

#2 31-05-2019 17:24:24

Vanille
Membre
Inscription : 31-12-2018
Messages : 57

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Je mets l'explication du paradoxe en entier au cas où (c'est seulement la toute fin que je comprends pas)

4udg.png
1isn.png
z88t.png
tvsb.png

Dernière modification par Vanille (31-05-2019 17:25:03)

Hors ligne

#3 01-06-2019 07:57:06

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 622

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Salut,

ben, c'est la valeur du jeu qui procure l'utilité espérée maximale. Et donc c'est la "valeur" de ce jeu pour un individu rationnel qui est, comme on dit, adverse au risque, c'est à dire qu'il a peur de miser de plus en plus car il a de plus en plus peur de tout perdre. Ça semble humain et ça résout ce fameux paradoxe qui continue à donner matière à réflexion et qui est à la racine de bien des théories économiques.


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#4 01-06-2019 11:56:08

Vanille
Membre
Inscription : 31-12-2018
Messages : 57

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Bonjour.

Oui ça j'ai dit que je l'avais compris, mais je comprends pas pourquoi la somme que le joueur est prêt à mettre est G et non E[U(G)], (fin du document) ce qui m'aurait paru plus logique. En effet il peut pas payer G pour le jeu puisque G c'est le gain et qu'il ne le connaît pas en avance d'une part et d'autre part, ça ne lui servirait à rien de jouer si il devait payer ce qu'il allait gagner.

nloq.png

Dernière modification par Vanille (01-06-2019 12:58:12)

Hors ligne

#5 01-06-2019 19:55:13

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 622

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Re,

non, G n'est pas le gain mais la mise initiale dont la "valeur" est équivalente à celle du jeu.


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#6 01-06-2019 20:50:06

Vanille
Membre
Inscription : 31-12-2018
Messages : 57

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

pgej.png

Non G c'est bien le gain, et la valeur du jeu c'est ce qu'on recherche justement, c'est la problématique, et je ne comprends pas pourquoi à la fin il dit que justement la valeur du jeu devrait être à la valeur du gain, alors que ça devrait être égal à la valeur de l'espérance de l'utilité du gain..

Dernière modification par Vanille (02-06-2019 04:40:55)

Hors ligne

#7 02-06-2019 07:53:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 622

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Salut,

non, on cherche un équivalent certain au jeu, cet équivalent est la mise initiale et unique $G$ que le joueur est prêt à jouer pour avoir le droit de gagner 2, ou 4, ou, 8, ou ... $2^k$, ou ... selon le schéma aléatoire décrit.
On cherche donc G tel que U$(G)=Log(G)=\sum_k Prob(2^k)Log(2^k)$. Cette utilité est mesurée tant pour les gains que pour la mise initiale, c'est la base de la théorie de la décision.
C'est ce qu'on appelle la valeur subjective du "jeu". Au cas d'espèce, elle n'est pas très élevée, mais ça dépend de la fonction d'utilité U. Prends autre chose que le $Log$, en respectant la concavité, et tu auras un autre résultat, sans changer pour autant la conclusion. A l'origine, il fallait résoudre une contradiction : un gain espéré infini (en théorie !) et pourtant, on n'était pas prêt à miser un gros montant ! Cela étant, si tu joues quelques fois  de manière consécutive à ce jeu, observe le résultat, c'est rapidement décevant :-)

Je reconnais qu'il y a une petite confusion dans le texte, et je reconnais que ton interrogation est légitime.

Dernière modification par freddy (02-06-2019 10:05:07)


"Quand un homme a faim, mieux vaut lui apprendre à pêcher que de lui donner un poisson" Confucius

Hors ligne

#8 06-06-2019 10:56:55

Vanille
Membre
Inscription : 31-12-2018
Messages : 57

Re : Paradoxe de Saint-Pétersbourg

D'accord, merci beaucoup :)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt dix moins cinquante deux
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums