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#1 02-06-2019 18:42:07

aa
Invité

valeur propre d'une matrice

salut tout le monde.
existe-il une astuce pour trouver les valeurs propres d'une matrice sans passer par le polynome caracteristique

#2 03-06-2019 18:27:08

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 172

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour
La question est un peu bizarre pour moi. Mais bref.
Disons que pour certains cas particuliers, on peut éviter le calcul du polynôme caractéristique effectivement.
Une matrice diagonale ....
ou alors la matrice A ci-dessous qui admet comme unique valeur propre 0 (je te laisse deviner pourquoi,  et par conséquent elle est nilpotente)  mais une astuce en général??

[tex]A=\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 1 & 1
\end{array}
\right)
[/tex]

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#3 03-06-2019 21:29:27

aa
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

A*A=0 alors c'est une matrice nilpotente d'indice 2
le polynôme minimal est X^2
donc 0 est la seule valeur propre d'ordre 2.c'est bien ça?!
d'autre par effectivement pour les matrices diagonales et triangulaires sup et inf je sais qu'on peut déterminer les valeurs propres directement..mais comme vous l'avez dit je pense que ça n'existe pas pour une matrice qql.

#4 03-06-2019 22:18:24

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 172

Re : valeur propre d'une matrice

C'est m^me plus simple que ça: la matrice est de rang 1, donc le noyau est de dimension 3, i.e 0 est valeur propre d'ordre au moins 3.
Pour avoir la 4ème valeur propre, tu utilises la trace  qui est la somme de toutes les vp en tenant compte de leur multiplicité. Ici la trace vaut 0. Donc 0 est valeur propre de multiplicité 4. C'est pour ça que je sais A est nilpotente (d'ordre 2 et sans avoir calculer A^2.

Dernière modification par aviateur (03-06-2019 22:19:19)

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#5 31-10-2019 04:23:51

Rosi
Membre
Inscription : 31-10-2019
Messages : 1

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour a tous s'il vous plaît je voulais savoir comment fais t on pour montrer qu une matrice qui est égale a son propre inversé est diagnonalisable merci

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#6 31-10-2019 15:49:37

Matou
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour,

il me semble que le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants. Donc le déterminant de A n'est pas nul et A est in

Matouversible

#7 31-10-2019 15:51:44

Matou
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

Pardon, le message ci-dessus est incompréhensible

Bonjour,

il me semble que le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants. Donc le déterminant de A n'est pas nul et A est inversible

Matou

#8 31-10-2019 16:09:32

LCTD
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour,

Voilà ce que je sais ( à vérifier dans votre cours).
La diagonalisation n'est possible que sur des matrices carrées
une matrice A de dimension n d'une application linéaire f est diagonalisable si et seulement si :
1) la somme des dimensions des sous espaces vectoriels propres est n,   
2) le polynôme caractéristique est scindé, c'est à dire la dimension de chaque espace vectoriel propre est égal à la multiplicité de la valeur propre qui lui  est associée

#9 31-10-2019 17:00:45

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : valeur propre d'une matrice

Bonsoir,

@Rosi, il aurait fallu créer un nouveau fil...
@LCTD, ce que tu as écrit est mal formulé, c'est "ssi 1) ssi 2)" et non pas "ssi 1) 2)" car on a l'impression que tu écris "ssi 1) et 2)" et qui plus est le 2) est faux, si le polynôme caractéristique est scindé ça ne veut pas dire que la dimension de chaque espace vectoriel propre est égal à la multiplicité associée...

Par contre on peut utiliser le polynôme minimale qui si lui est scindé alors c'est diagonalisable, or on a $A^{2} = I_{n}$ voilà voilà

Dernière modification par Maenwe (31-10-2019 17:01:13)

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#10 31-10-2019 17:45:27

LCTD
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour,

Une matrice diagonale est inversible si toutes ses valeurs propres sont non nulles et [Diag($\lambda_1$,....$\lambda_n$]-1=Diag($\dfrac{1}{\lambda_1}$,....,$\dfrac{1}{\lambda_n}$

#11 31-10-2019 17:53:34

LCTD
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour,

Merci Maenwe pour tes éclaircissements. J'ai une question : On parle  d'un polynôme scindé seulement pour le polynôme minimal ou aussi pour le polynôme caractéristique quand toutes les valeurs propres sont de multiplicité 1 et au nombre de n?

#12 31-10-2019 19:16:36

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 182

Re : valeur propre d'une matrice

La dimension des sous espaces propre est inférieur ou égal à la multiplicité associé, donc si tu as que toutes les valeurs propres sont de multiplicité 1 et au nombre de n, alors forcément le polynôme caractéristique est scindé (simple = (multiplicité =1)) et après il y a deux manière de voir, tu as un théorème qui dit que c'est diagonalisable ssi le polynôme car. est scindé et les multiplicité est égale à la dimension du sous espace propre associé, et tu as un autre résultat qui dit "la somme des dimensions des sous espaces vectoriels propres est n" ssi c'est diag. donc il est facile de voir que l'on a les deux conditions précédentes (mais on en a besoin que d'une puisqu'elles sont équivalentes, c'était juste pour exposer les deux points de vues) donc c'est aussi diagonalisable.

Au passage : le polynôme caractéristique de $A =\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ est scindé mais A n'est pas diagonalisable.

Dernière modification par Maenwe (31-10-2019 19:16:49)

Hors ligne

#13 31-10-2019 20:41:43

LCTD
Invité

Re : valeur propre d'une matrice

Bonjour,

Merci Maenwe pour ta réponse.

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