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#1 29-05-2019 18:44:55

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 86

Fonction de classe $C^1$

Bonjour
sur quel domaine la fonction $f(x,y)= \dfrac{4x-x^3}{4+y^3}$ est de classe $C^1$ par rapport à $y$ ?

Bien cordialement.

Hors ligne

#2 30-05-2019 06:11:06

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 712

Re : Fonction de classe $C^1$

Bonjour capucine,

Pour t'aider, peux-tu me dire quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?

Roro.

Hors ligne

#3 30-05-2019 07:44:25

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 86

Re : Fonction de classe $C^1$

Bonjour
est ce que c'est correct de dire que l'ensemble de définition est $D_f= \mathbb{R}^2 \setminus (x, -(y^4)^{1/3}\}$?

Hors ligne

#4 30-05-2019 09:35:03

D_john
Invité

Re : Fonction de classe $C^1$

Bonjour,

ccapucine a écrit :

Bonjour
est ce que c'est correct de dire que l'ensemble de définition est $D_f= \mathbb{R}^2 \setminus (x, -(y^4)^{1/3}\}$?

... le dire non, et l'écrire encore moins.
Sous les réserves habituelles, j'écrirais plutôt :
[tex] D_{f} = \mathbb{R} \times \left\{ \mathbb{R}  \setminus \left\{ -(4)^{\frac{1}{3}} \right\} \right\} [/tex]
C'est sans ambiguïté non ?

#5 30-05-2019 16:47:29

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Fonction de classe $C^1$

Bonsoir,
@capucine : ce qu a écrit  D John revient a écrire que [tex]f(x,y)[/tex]est définie si et seulement si son dénominateur est différent de 0, soit [tex]y[/tex]: different de [tex]y_0=-(4)^\frac {1}{3}[/tex].
"si et seulement si" signfie qu il n y aucune restriction sur [tex]x[/tex] qui peut alors prendre n'importe quelle valeur de [tex]\mathbb R[/tex]
[tex]f(x,y)[/tex]est donc définie pour tout couple [tex](x,y)[/tex] tel que :
[tex]x[/tex] quelconque dans [tex]\mathbb R[/tex] et [tex]y[/tex] pouvant prendre n importe quelle valeur dans [tex]\mathbb R[/tex] sauf [tex]y_0[/tex]
Seuls les couples ([tex]x \in \mathbb R, y=y_0)[/tex] n ont pas d image par f.

Dernière modification par Zebulor (31-05-2019 07:28:20)

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#6 31-05-2019 09:24:19

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 86

Re : Fonction de classe $C^1$

Bonjour
merci pour les réponses. Autres questions: pour montrer l'existence et l'unicité du problème $y'=f(x,y); y(x_0)=y_0$.
Il y a deux versions du théorème de Cauchy-Lipschizt:
la formulation forte: si $f$ est de classe $C^1$ alors le problème admet pour tout $(x_0,y_0)$ une solution unique maximale sur un intervalle $I$ qui passe par $x_0$.
La formulation faible dit que si $f$ est localement lipschitzienne alors il y a existence et unicité pour chaque $(x_0,y_0)$.
Question 1: Dans la première formulation de Cauchy-Lipchitsz, est ce que $f$ doit être de classe $C^1$ sur tout le domaine de définition de $f$, ou bien il suffit qu'elle soit de classe $C^1$ sur un voisinage?
Question 2: est-ce que la réponse suivante est correcte: pour chaque $(x_0,y_0)$, il existe un voisinage sur lequel $f$ et $df/dy$ sont continues, donc $f$ est de classe $C^1$ et pas Cauchy-Lipschitz il y a existence et unicité.

Bien cordialement

Dernière modification par ccapucine (31-05-2019 09:26:56)

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