Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 29-05-2019 20:44:55
- ccapucine
- Membre
- Inscription : 19-05-2018
- Messages : 180
Fonction de classe $C^1$
Bonjour
sur quel domaine la fonction $f(x,y)= \dfrac{4x-x^3}{4+y^3}$ est de classe $C^1$ par rapport à $y$ ?
Bien cordialement.
Hors ligne
#2 30-05-2019 08:11:06
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 565
Re : Fonction de classe $C^1$
Bonjour capucine,
Pour t'aider, peux-tu me dire quel est l'ensemble de définition de cette fonction ?
Roro.
En ligne
#3 30-05-2019 09:44:25
- ccapucine
- Membre
- Inscription : 19-05-2018
- Messages : 180
Re : Fonction de classe $C^1$
Bonjour
est ce que c'est correct de dire que l'ensemble de définition est $D_f= \mathbb{R}^2 \setminus (x, -(y^4)^{1/3}\}$?
Hors ligne
#4 30-05-2019 11:35:03
- D_john
- Invité
Re : Fonction de classe $C^1$
Bonjour,
Bonjour
est ce que c'est correct de dire que l'ensemble de définition est $D_f= \mathbb{R}^2 \setminus (x, -(y^4)^{1/3}\}$?
... le dire non, et l'écrire encore moins.
Sous les réserves habituelles, j'écrirais plutôt :
[tex] D_{f} = \mathbb{R} \times \left\{ \mathbb{R} \setminus \left\{ -(4)^{\frac{1}{3}} \right\} \right\} [/tex]
C'est sans ambiguïté non ?
#5 30-05-2019 18:47:29
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 089
Re : Fonction de classe $C^1$
Bonsoir,
@capucine : ce qu a écrit D John revient a écrire que [tex]f(x,y)[/tex]est définie si et seulement si son dénominateur est différent de 0, soit [tex]y[/tex]: different de [tex]y_0=-(4)^\frac {1}{3}[/tex].
"si et seulement si" signfie qu il n y aucune restriction sur [tex]x[/tex] qui peut alors prendre n'importe quelle valeur de [tex]\mathbb R[/tex]
[tex]f(x,y)[/tex]est donc définie pour tout couple [tex](x,y)[/tex] tel que :
[tex]x[/tex] quelconque dans [tex]\mathbb R[/tex] et [tex]y[/tex] pouvant prendre n importe quelle valeur dans [tex]\mathbb R[/tex] sauf [tex]y_0[/tex]
Seuls les couples ([tex]x \in \mathbb R, y=y_0)[/tex] n ont pas d image par f.
Dernière modification par Zebulor (31-05-2019 09:28:20)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
Hors ligne
#6 31-05-2019 11:24:19
- ccapucine
- Membre
- Inscription : 19-05-2018
- Messages : 180
Re : Fonction de classe $C^1$
Bonjour
merci pour les réponses. Autres questions: pour montrer l'existence et l'unicité du problème $y'=f(x,y); y(x_0)=y_0$.
Il y a deux versions du théorème de Cauchy-Lipschizt:
la formulation forte: si $f$ est de classe $C^1$ alors le problème admet pour tout $(x_0,y_0)$ une solution unique maximale sur un intervalle $I$ qui passe par $x_0$.
La formulation faible dit que si $f$ est localement lipschitzienne alors il y a existence et unicité pour chaque $(x_0,y_0)$.
Question 1: Dans la première formulation de Cauchy-Lipchitsz, est ce que $f$ doit être de classe $C^1$ sur tout le domaine de définition de $f$, ou bien il suffit qu'elle soit de classe $C^1$ sur un voisinage?
Question 2: est-ce que la réponse suivante est correcte: pour chaque $(x_0,y_0)$, il existe un voisinage sur lequel $f$ et $df/dy$ sont continues, donc $f$ est de classe $C^1$ et pas Cauchy-Lipschitz il y a existence et unicité.
Bien cordialement
Dernière modification par ccapucine (31-05-2019 11:26:56)
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée