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#1 26-05-2019 08:21:15

yannick4H
Membre
Inscription : 26-05-2019
Messages : 2

Proba Somme de variables aléatoires indicée par une variable aléatoire

Bonjour,

Je bute sur l'exercice suivant :

On considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes [tex]N,X_{1},\,…,\,X_{n},\,…[/tex] définies sur le même espace probabilisé [tex](\varOmega,\mathcal{A},P)[/tex].
Soit [tex]X[/tex] une variable aléatoire réelle à valeurs dans [tex]\mathbb{N}[/tex] possédant un moment d'ordre 2.
On suppose que [tex]N[/tex] est une variable aléatoire réelle à valeurs dans [tex]\mathbb{N}^{*}[/tex] possédant un moment d'ordre 2 et que les variables aléatoires [tex]X_{i}[/tex], pour [tex]i\in\mathbb{N}^{*}[/tex], suivent la même loi que [tex]X[/tex].

On note [tex]Y[/tex] la variable aléatoire définie par [tex]Y=\sum_{i=1}^{N}X_{i}[/tex], c'est-à-dire :
[tex]\forall\omega\in\varOmega,\,Y(\omega)=\sum_{i=1}^{N(\omega)}X_{i}(\omega)[/tex]

Déterminer [tex]E(Y)[/tex] en fonction de [tex]E(X)[/tex] et de [tex]E(N)[/tex].

Je pressens dans mes calculs qu'on devrait obtenir quelque chose de la forme [tex]E(Y) = E(N)E(X)[/tex] mais je me perds à chaque fois entre familles sommables et somme indicée par une variable aléatoire, si vous avez des conseils je suis preneur.

Merci beaucoup.

Dernière modification par yannick4H (26-05-2019 10:39:09)

Hors ligne

#2 26-05-2019 20:13:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Re : Proba Somme de variables aléatoires indicée par une variable aléatoire

Bonjour,

  Tu as raison!
Voici comment je m'y prendrai : j'écrirai que $(N=k)_{k=1}^{+\infty}$ est une système complet d'événements, et donc que
$$P(Y=n)=\sum_{k=1}^{+\infty}P_{(N=k)}(Y=n)P(N=k)=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X_1+\cdots+X_k=n)P(N=k).$$

En prenant l'espérance,

$$E(Y)=\sum_{n=0}^{+\infty} n \sum_{k=1}^{+\infty}P(X_1+\cdots+X_k=n)P(N=k).$$

Une permutation des deux sommes devrait te donner le résultat!

F.

Hors ligne

#3 27-05-2019 19:47:34

yannick4H
Membre
Inscription : 26-05-2019
Messages : 2

Re : Proba Somme de variables aléatoires indicée par une variable aléatoire

Fred a écrit :

Une permutation des deux sommes devrait te donner le résultat!
F.

Bonjour,

Merci beaucoup effectivement cela a fonctionné comme sur des roulettes !

Hors ligne

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